Дополнительные материалы:
Динамика коммуникационных сетей в крупной организационной иерархии

Натаниэль Джозефс Сида Пэн Форрест В. Кроуфорд Натаниэль Джозефс Сида Пенг Форрест У. Кроуфорд

Аннотация

Большинство предприятий навязывают сотрудникам иерархию подчинения для облегчения управления, принятия решений и совместной работы, однако повседневные модели общения между сотрудниками на рабочих местах, как правило, возникают более естественным образом вследствие как отношений подчинения, так и потребностей организации. Какова же тогда связь между формальной организационной структурой и возникающими коммуникациями между ее сотрудниками? Понимание природы этой связи имеет решающее значение для успешного управления организацией. Хотя исследователи в области организационного менеджмента предложили теории, связывающие организационные деревья с динамикой коммуникаций, а сетевые ученые отдельно изучили топологическую структуру моделей коммуникации в различных типах организаций, существующим эмпирическим анализам не хватает репрезентативности, и они ограничены в объеме. Фактически, большая часть методологии, используемой для изучения взаимосвязи между организационной иерархией и моделями коммуникации (и большая часть того, что известно об этой взаимосвязи), основана на анализе корпуса электронных писем Enron, отражающего уникально дисфункциональную корпоративную среду. В этой статье мы разрабатываем новую методологию для оценки взаимосвязи между организационной иерархией и динамикой коммуникаций и применяем ее к корпорации Microsoft, в настоящее время самой дорогой компании в мире, состоящей из примерно 200 000 сотрудников, разделенных на 88 команд, организационные деревья которых уходят корнями в высшее руководство. Это выявляет четкие структуры коммуникационных сетей внутри команд и между ними. Затем мы характеризуем связь повседневных моделей общения сотрудников с этими иерархиями подчинения в командах, одновременно эмпирически оценивая несколько теорий организационного менеджмента и эффективности. Для этого мы предлагаем новые показатели взаимности коммуникаций и новые расстояния по кратчайшему пути для деревьев, чтобы отслеживать частоту сообщений, передаваемых вверх, вниз и поперек организационной иерархии. Описывая, как коммуникации группируются вокруг формальной организации, мы раскрываем возникающую динамику общения между сотрудниками и решающую роль положения в иерархии..

ключевые слова: анализ организационных сетей, динамика коммуникаций, сети электронной почты, реконструкция иерархического дерева организации, корпоративные данные, анализ социальных сетей

Динамика коммуникации , Сеть электронной почты , Организационная иерархия , Взаимность , Дистанция подчинения , Анализ путей , Латентное дерево

, , и

??Кафедра статистики, Университет штата Северная Каролина

??Офис главного экономиста, Исследования Майкрософт

??Кафедра биостатистики, Йельская школа общественного здравоохранения

??Кафедра статистики и науки о данных, Йельский университет

??Кафедра экологии и эволюционной биологии, Йельский университет

??Йельская школа менеджмента

??Корпорация Ранд

1 Введение

Большинство организаций накладывают на своих сотрудников надзорную иерархию для облегчения управления, принятия решений и совместной работы (Robbins, 2004; Galbraith, 2008). В отличие от этого, повседневные модели межличностного общения на рабочих местах имеют тенденцию возникать более естественно, являясь следствием как надзорных отношений, так и потребностей организации. «Если формальная организация — это скелет компании, — проводят аналогию Krackhardt and Hanson (1993), — то неформальная — это центральная нервная система, управляющая коллективными мыслительными процессами, действиями и отношениями ее бизнес-подразделений». Понимание взаимосвязи между этими двумя сетями имеет решающее значение для успешного управления организацией (Cross, Parise and Weiss, 2007).

Исследователи организационного поведения и менеджмента предложили теории, связывающие особенности социальных сетей с показателями эффективности бизнеса (Tichy, Tushman and Fombrun, 1979; Krackhardt and Stern, 1988), а исследователи описали стратегии для измерения и улучшения коммуникационных сетей внутри организации (Cross, Parise and Weiss, 2007; Nielsen, 2016). Часть этих работ содержит явные утверждения о том, как особенности коммуникационных сетей связаны с организационной эффективностью. Например, Krackhardt and Stern (1988) предполагают, что эффективные организации имеют более высокий уровень межкомандной коммуникации по сравнению с внутрикомандной. В качестве альтернативы Hatch and Schultz (1997) и Holtzhausen (2002) утверждают, что коммуникация лучше в децентрализованных организациях, в которых «полномочия распределены вниз по иерархии». Несколько авторов утверждают, что наиболее эффективные сотрудники имеют больше связей в коммуникационной сети (Cross, Borgatti and Parker, 2002; Nielsen, 2016).

Для оценки этих теорий исследователи в области менеджмента, специалисты по компьютерным наукам и исследователи сетей предложили фреймворки и методологии для изучения скрытой, или неизмеряемой, иерархической структуры в сетях взаимодействий или коммуникаций (Capobianco and Molluzzo, 1979; Palus, Brodka and Kazienko, 2011; Fire and Puzis, 2016). Одной из задач является использование характеристик коммуникационных сетей для классификации людей по рангу или должности в соответствующей организационной иерархии, что позволяет выявить сетевые корреляты институционального положения. Распространенным подходом является вычисление сетевых мер центральности для сотрудников с последующим их ранжированием по степени важности. Например, Shetty and Adibi (2004) используют энтропию для измерения важности сотрудников, а Namata, Getoor and Diehl (2006) используют вариации в количестве электронных писем для ранжирования сотрудников. Rowe et al. (2007) ранжируют людей на основе комбинации статистических данных о потоках коммуникации, таких как среднее время отклика, и топологических статистических данных, таких как количество клик коммуникационной сети, к которым принадлежит каждый сотрудник. Hossain (2009) и Michalski, Palus and Kazienko (2011) используют классические меры центральности для ранжирования сотрудников, а Wang et al. (2013) адаптируют алгоритм PageRank (Page et al., 1999) для сетей электронной почты, называя его HumanRank. Zhang et al. (2009) оценивают методы кластеризации с учителем для прогнозирования недостающих должностей на основе количества отправленных и полученных каждым сотрудником электронных писем. Dong et al. (2015) обнаруживают, что «структурные дыры» в коммуникационной сети полезны для выявления лиц с «высоким статусом» и что эти лица образуют «богатое сообщество» (rich club) сотрудников, которое является связанным, сбалансированным и плотным. Nurek and Michalski (2020) показывают, что вспомогательная информация о сотрудниках, такая как количество отработанных дней сверхурочно, может улучшить классификацию должностей.

Помимо классификации сотрудников по рангу или должности, в литературе существует три метода, которые пытаются вывести древовидную структуру (в идеале — всю организационную иерархию), используя данные о коммуникации между сотрудниками. Creamer et al. (2007) распределяют сотрудников по иерархическим уровнями, а затем связывают их ребром, когда два сотрудника обменялись по меньшей мере $m$ электронными письмами, хотя это не гарантирует, что выведенная организация является деревом. Maiya and Berger-Wolf (2009) используют подход на основе расстояний, который предполагает, что взаимодействия наиболее часты между руководителями и их непосредственными подчиненными, а также между коллегами по организации. Gupte et al. (2011) определяют «агонию» как разницу в ранге плюс один для коммуникаций, направленных от сотрудника с более низким рангом к сотруднику с более высоким рангом, и выводят организационную иерархию, которая минимизирует агонию. Хотя существует множество методов иерархической кластеризации, которые выводят иерархию на основе древовидного ввода, таких как модель иерархического случайного графа из Clauset, Moore and Newman (2008), их цель отличается от вышеупомянутых методов. Методы иерархической кластеризации не создают остовное дерево, то есть дерево с множеством вершин, равным множеству вершин входного графа. Вершины выходной иерархии не совпадают с вершинами входной сети, поэтому иерархическая кластеризация представляет собой задачу, отличную от реконструкции дерева.

Значительная часть методологии, используемой для изучения взаимосвязи между организационной иерархией и моделями коммуникации (и большая часть того, что известно об этой взаимосвязи), основана на анализе корпуса электронных писем Enron (Klimt and Yang, 2004), который состоит из переписки группы высших сотрудников компании накануне ее банкротства в 2001 году. В таблице 1 в приложении приведена сводка этих методов. Несмотря на неоднократный анализ этих данных, полная организационная иерархия сотрудников Enron в открытом доступе отсутствует: корпус писем Enron охватывает лишь 158 сотрудников, в основном относящихся к высшему руководству. Что еще хуже, выводы, полученные на основе анализа данных Enron, могут отражать особенности этой уникально неблагополучной корпоративной среды: наблюдаемые связи между сетью электронной почты и организационной иерархией в этом терпящем крах бизнесе могут не быть репрезентативными для более успешных организаций. В частности, Eckhaus and Sheaffer (2018) используют анализ настроений, чтобы показать, что семантический показатель «высокомерия» в содержимом электронной почты возрастает по мере приближения краха Enron. Аналогичным образом, Diesner and Carley (2005) утверждают, что во время кризиса коммуникация выходила за рамки официальных должностей в большей степени, чем в предыдущие месяцы. Следовательно, для понимания того, как структура организации связана с ее динамикой коммуникации, крайне важно выйти за рамки изучения корпуса Enron.

Для достижения этой цели исследователи провели несколько эмпирических анализов других организаций, но каждый из них имеет ограниченный охват. Holtzhausen (2002) исследуют южноафриканскую финансовую организацию, чтобы оценить взаимосвязь между децентрализацией и коммуникацией. Однако и коммуникация, и децентрализация измерялись только с помощью ответов на опросы, а не с помощью журналов коммуникаций и реальной организационной иерархии. Guimera et al. (2006) характеризуют университетскую сеть электронной связи и связывают ее со структурой сообщества внутри учреждения. Аналогичным образом, Boeva et al. (2017) изучают телекоммуникационную компанию для оценки метрик сравнения формальной организации с неформальной структурой коммуникации, а Sims, Sinitsyn and Eidenbenz (2014) изучают паттерны коммуникации в Лос-Аламосской национальной лаборатории по записям электронной почты. Edge et al. (2020) и Athreya et al. (2022) изучают коммуникацию по электронной почте в организации Microsoft; первая работа вычисляет и визуализирует сетевые вложения для рабочих групп с течением времени, а вторая использует аналогичные сетевые вложения для обнаружения COVID-19 как экзогенного шока для организации. Лишь немногие исследования дают целостное представление о взаимосвязи между организационной структурой и динамикой коммуникации. В ряде случаев организационная иерархия измеряется грубо, а динамика коммуникации рассматривается только между группами, состоящими из множества людей (колледжи и административные блоки в Guimera et al. (2006), подразделения в Boeva et al. (2017) и программы/проекты в Sims, Sinitsyn and Eidenbenz (2014)), а не между отдельными сотрудниками. Иногда саму организационную структуру выводят из данных коммуникации (рабочие группы определяются как группы людей с высокой внутрикомандной коммуникацией в Edge et al. (2020) и Athreya et al. (2022)), неявно предполагая положительную связь между иерархией и коммуникацией и тем самым эффективно используя одни и те же данные как в качестве входных, так и в качестве отклика..

Как возникающая динамика коммуникации соотносится с организационной иерархией в крупной и успешной организации? Являются ли показатели центральности в коммуникационной сети хорошей заменой организационной позиции? Какова связь между организационным рангом и частотой общения? Эмпирическая проверка организационных теорий, особенно тех, которые постулируют связи между мерами центральности сети и организационным позиционированием, потребует данных об организационной иерархии крупной организации на уровне отдельных сотрудников с детально наблюдаемыми моделями коммуникации между всеми сотрудниками. Доступность реплик — данных от подгрупп или команд внутри организации — позволила бы протестировать организационные теории в различных областях бизнес-задач..

В этой статье мы изучаем взаимосвязь между формальной организационной иерархией и возникающей динамикой коммуникации по электронной почте среди 241 718 сотрудников корпорации Microsoft в мае 2019 года. Набор данных больше, чем в любой другой организации, описанной в литературе, и состоит из информации о положении каждого сотрудника в надзорно-отчетной иерархии компании, а также о ежемесячном количестве писем электронной почты между всеми парами сотрудников. Мы характеризуем топологическое расстояние и направление сообщений электронной почты, передаваемых вверх, вниз и поперек организационной иерархии. Разделив организацию на 88 команд — организационных деревьев с корнем на уровне высшего руководства, — мы выявляем различные структуры коммуникационных сетей внутри команд и между ними. Мы также оцениваем устоявшиеся методы оценки скрытой структуры и классификации рангов сотрудников с использованием сети электронной почты, а также оцениваем их соответствие истинному организационному дереву в масштабах всей организации и внутри отдельных команд. В заключение мы обсуждаем взаимосвязь между рутинными паттернами общения сотрудников и иерархией руководства, а также эмпирически оцениваем несколько теорий организационного управления и эффективности.

2 Данные

Данные, используемые в этом анализе, состоят из коммуникаций по электронной почте между сотрудниками и организационной иерархии всех сотрудников в Microsoft Corporation. Коммуникации по электронной почте состоят из ежемесячных количеств электронных писем между парами сотрудников, разделяемых по отправителю и получателю. В этих подсчетах представлено в общей сложности 95,5 миллиона электронных писем между сотрудниками. Организационные данные представлены направленными отношениями подчиненности между сотрудниками. Уникальные анонимные идентификаторы сотрудников связывают сотрудников в обоих наборах данных. В наборах данных присутствует в общей сложности 241 718 уникальных идентификаторов сотрудников, причем 89% присутствуют в обоих наборах данных. Мы строим две сети, выбирая записи, принадлежащие сотрудникам, присутствующим в обоих наборах данных. В направленной сети коммуникаций по электронной почте узлы соответствуют сотрудникам, а ребра взвешены по общему количеству писем за один месяц. Взвешенная матрица смежности $A$ состоит из элементов $A_{uv}=\#~\text{emails sent from employee}~u~\text{to}~v$ . Организационное дерево построено с использованием направленных отношений подчиненности, где генеральный директор является корнем. Узлы в организационном дереве представляют сотрудников, а ребра представляют (невзвешенные) отношения подчиненности.

Чтобы учесть наличие подразделений с различными бизнес-ролями внутри компании, мы делим организацию на суборганизации, состоящие из поддеревьев организационной иерархии, которые мы называем командами. Определив команды, мы получаем возможность изучать закономерности внутрикомандной и межкомандной коммуникации. Более того, команды предоставляют концепцию реплик, которая позволяет нам вычислять средние значения и исследовать тенденции между организационной иерархией и коммуникационной сетью. Для построения команд мы сначала определяем набор тимлидов, определяемых как сотрудники на два уровня ниже генерального директора в организационной структуре. Организационное дерево команды определяется как корневое дерево с тимлидом в качестве корня, представляющее собой поддерево всего организационного дерева. Соответствующая ей сеть электронной почты представляет собой сеть почтовых коммуникаций, порожденную всеми организационными потомками тимлида; сеть электронной почты команды является подграфом всей сети электронной почты. Поскольку не все сотрудники присутствуют как в сети электронной почты, так и в организационном дереве, мы берем пересечение узлов организационного дерева команды и сети электронной почты и переопределяем эти сети как подграфы, порожденные этим пересечением. Мы исключаем из этого анализа команды с числом участников менее 100.

В качестве завершающего этапа очистки данных мы удаляем сотрудников, не имеющих никаких записей о коммуникации, если они являются концевыми узлами в иерархии, сохраняя тем самым древовидную структуру. Это гарантирует, что наши меры расстояния между сотрудниками имеют смысл и хорошо определены. Поскольку, по определению, концевые узлы в иерархии не имеют исходящих ребер, мы можем свободно отбросить их, не нарушая древовидную структуру организации. Поскольку у этих узлов нет отправленных или полученных сообщений, то есть их общая степень в коммуникационной сети равна нулю, они ничего не добавляют к анализу. С другой стороны, мы сохраняем узлы без коммуникации, которые не являются концевыми узлами, что подразумевает наличие у них хотя бы одного отношения подчиненности в организационной иерархии. Чтобы обеспечить связность коммуникационной сети, мы добавляем одно ориентированное ребро от узла с наибольшей исходящей степенью в их команде. Это добавление не является критичным для общего анализа, но связная сеть необходима для вычисления некоторых сводных сетевых статистик и мер центральности. Мы выбрали узел с наибольшей исходящей степенью в их команде, исходя из соображения, что этот человек с наибольшей вероятностью отправлял электронные письма и, следовательно, с наименьшей вероятностью изменит топологию графа электронной почты. В общей сложности мы добавляем всего $0.004\%$ ребер, что составляет менее ⟦BROKEN_K1⟧ всех ребер.

Наша итоговая сеть электронной почты представляет собой объединение всех сетей электронной почты команд плюс все исходные ребра между различными командами. По построению каждая команда связана в организационной иерархии, и общая сеть электронной почты также связана. Она состоит из 197 тыс. узлов и 24,6 миллионов ребер.

Для каждого узла мы записываем несколько характеристик сотрудника. Сначала мы записываем руководителя каждого сотрудника, то есть сотрудника, которому этот узел подчиняется в организационном дереве. Мы говорим, что группа команд находится в одном подразделении, если их соответствующие тимлиды имеют общего руководителя, который по построению подчиняется напрямую генеральному директору. Наконец, мы записываем уровень каждого узла, который представляет собой количество шагов ниже генерального директора в организационной иерархии. В общей сложности набор данных состоит из 88 команд в 12 подразделениях. Размеры команд варьируются от 99 до 19 458 (в среднем 2 237, стандартное отклонение 3 612), а глубина команд, представляющая собой максимальный уровень сотрудников в команде, варьируется от 5 до 13 (в среднем 8,5, стандартное отклонение 1,7).).

На рисунке 1 представлена визуализация организационного дерева и сети электронной почты с использованием программного пакета Gephi (Bastian, Heymann and Jacomy, 2009). Команды окрашены в обеих сетях по единой цветовой схеме, причем цвета распределяются по спектру так, чтобы команды из одного подразделения имели схожие оттенки. Слева черные ребра обозначают верхнюю часть организационного дерева — от генерального директора до руководителей подразделений и лидеров команд. Внутри команд узлы организованы сначала по уровню, а затем по прямым подчиненным. Справа ребра являются направленными и окрашены в соответствии с источником писем, то есть отправителем электронной почты. Для визуальной ясности мы включаем только те ребра, по которым письма отправлялись взаимно и в общей сложности за месяц было передано не менее 30 сообщений (Guimera et al., 2006). Затем мы визуализируем гигантскую компоненту связности, которая включает 94% исходных узлов (185 276), но всего 3% ребер (762 936), что делает визуализацию доступной для вычислений и более наглядной для отображения.

Refer to caption — ⟦Fig 1: (Слева) Организационное дерево, состоящее из 196 832 сотрудников по состоянию на май 2019 года. Узлы расцвечены по командам с использованием градиента таким образом, что команды из одного подразделения имеют более близкие цвета. Генеральный директор обозначен черной точкой, от которой исходят все черные ребра. (Справа) Сеть электронной почты, состоящая из всех сотрудников по состоянию на май 2019 года, и 24,6 миллиона ребер, представляющих 84,7 миллиона электронных писем, с использованием той же цветовой схемы для команд. Ребра являются направленными и окрашены в соответствии с цветом исходной команды. В целях визуализации сеть электронной почты была укрупнена, как описано в тексте.

3 EDA

3.1 Сеть коммуникации по электронной почте

Мы начинаем с изучения распределения степеней узлов в сети электронной почты. Общая степень — это количество связей по электронной почте с ненулевым весом, которое мы разделяем на входящие (полученные) и исходящие (отправленные) степени. Средняя общая степень составляет 250 (стандартное отклонение 402), а медиана равна 166, что указывает на сильную правостороннюю асимметрию в распределении степеней. 95-е перцентили входящих и исходящих степеней равны соответственно 349 и 451. В силу симметрии, поскольку и отправитель, и получатель присутствуют в наборе данных, средние входящая и исходящая степени равны половине средней общей степени. На рисунке 3 показано быстрое убывание частоты степеней, что согласуется с закономерностями, наблюдаемыми в других коммуникационных сетях (Onnela et al., 2007). Длинный хвост указывает на то, что есть несколько сотрудников, получающих письма от тысяч сотрудников, и еще меньше «суперотправителей», которые отправляют письма десяткам тысяч сотрудников. Это сильно асимметричное распределение исходящих степеней уже отмечалось в предыдущих исследованиях моделей коммуникации в организациях и может отражать активность, связанную со списками рассылки или рассылочными серверами (Guimera et al., 2006; Onnela et al., 2007).

На основе теста Колмогорова-Смирнова общие степени подчиняются степенному распределению $(\propto x^{-\alpha})$ с оценочным показателем степенного закона $\hat{\alpha}=3.8$ (СО 0.1) (Clauset, Shalizi and Newman, 2009; Gillespie, 2015). Тем не менее, в Приложении 2 мы также приводим недавний анализ безмасштабности на уровне команд, предложенный в Broido and Clauset (2019), который показывает, что 69 из 88 команд не являются безмасштабными. Входящие и исходящие степени также показывают сильную положительную корреляцию Пирсона ( $\rho=0.66$ ). Эта же тенденция сохраняется ( $\rho=0.71$ ) для общей силы, которая представляет собой сумму весов ребер и отражает общий объем электронной почты. Входящая и исходящая сила — это общее количество полученных и отправленных писем соответственно. Средняя общая сила составляет 861 (СО 1204), медианная общая сила равна 563, а 95-е перцентили входящей и исходящей силы составляют 1 272 и 1 461 соответственно..

Первый вопрос о возникающей динамике коммуникации заключается в том, до какой степени общение группируется вокруг команд. Одной из сводных метрик этой взаимосвязи является модулярность, которая измеряет силу кластеризации сети при заданном векторе принадлежности узлов к кластерам (Newman, 2006). При использовании команд и подразделений взвешенная модулярность сети электронной почты составляет 0,64 и 0,61 соответственно, что аналогично показателям модулярности, описанным в других коммуникационных сетях, в которых команды определяются неявно путем максимизации модулярности (Edge et al., 2020). Для визуализации этой кластеризации мы показываем матрицу смежности команд $P$ на рисунке 2. Элемент $(i,j)$ представляет собой долю пар сотрудников из команд $i$ и $j$ , которые когда-либо обменивались электронными письмами.:

P_{ij}=\begin{cases}\Big(n_{i}n_{j}\Big)^{-1}\sum\limits_{\begin{subarray}{c}u\in\text{team}~i\\ v\in\text{team}~j\end{subarray}}1(A_{uv}+A_{vu}>0)&\quad\text{if}~i\neq j\\[10.00002pt] \displaystyle\binom{n_{i}}{2}^{-1}\sum\limits_{\begin{subarray}{c}u,v\in\text{team}~i\\ u\neq v\end{subarray}}1(A_{uv}+A_{vu}>0)&\quad\text{if}~i=j\end{cases}\enskip,

где $n_{i}$ — количество сотрудников в команде $i$ , а $1(\cdot)$ — индикаторная функция. Строки и столбцы блочной матрицы отсортированы таким образом, что команды сгруппированы по своим подразделениям.

На рисунке 2 показано, что внутри команд обменивается больше электронных писем, чем между ними, а блочно-диагональная структура также показывает, что коммуникация более распространена внутри подразделений. Среднее значение по диагонали (внутри команды) составляет 0,091, что представляет собой среднюю долю пар в одной команде, которые обменялись хотя бы одним электронным письмом в мае 2019 года, а среднее вне диагонали (между командами) составляет 0,002. Это указывает на то, что команды плотные, но коммуникация между командами разрежена. Последняя строка/столбец представляет генерального директора и его прямых подчиненных, что является свидетельством феномена «богатого клуба» — тенденции центральных узлов быть внедренными в плотные сообщества — на вершине организационной диаграммы (Colizza et al., 2006; Dong et al., 2015).

На рисунке 3 показана частота коммуникации внутри различных групп сотрудников: всех сотрудников, сотрудников на одном уровне организационной иерархии, внутри одного подразделения, внутри одной команды и сотрудников, у которых общий руководитель. Модели коммуникации в значительной степени группируются вокруг организационной структуры: внутри команд, внутри подразделений, на одном организационном уровне и среди лиц с общим руководителем..

⟦Fig 2: Частота электронной переписки (логарифмическая шкала) внутри команд и между ними. Более темные цвета указывают на более интенсивное общение. Команды обозначены теми же цветами, что и на рисунке 1, и сгруппированы в соответствии с их смежностью в организационной иерархии. Диагональ представляет общение внутри команд. Последняя строка/столбец, выделенные черным цветом, представляют генерального директора и его непосредственных подчиненных..

Fig 3: (Сверху) Слева: Частота коммуникации внутри различных групп в организации. Посередине: Распределения входящих и исходящих степеней. Справа: Распределения входящей и исходящей силы. (Снизу) Справа: Двумерные (входящие против исходящих) распределения степеней и силы. Посередине: Распределение EI-индекса по командам (с цветовой кодировкой по командам), где вертикальная линия представляет EI-индекс всей организации. (Слева): Распределение взвешенного EI-индекса по командам.

3.2 Индекс EI

⟦Krackhardt and Stern (1988) утверждают, что успешные организации лучше реагируют на кризисы при наличии связей между различными командами, выдвигая гипотезу о том, что организации с положительным EI-index будут эффективно реагировать на кризисы. EI-index для команды $i$ и EI-index организации представлены как

\text{EI-index}(i)=\frac{EL(i)-IL(i)}{EL(i)+IL(i)}\qquad\text{and}\qquad\text{EI-index}=\frac{\sum_{i}\big(EL(i)-IL(i)\big)}{\sum_{i}\big(EL(i)+IL(i)\big)}\enskip,

соответственно, где $EL(i)$ и $IL(i)$ — это количество внешних (между командами) и внутренних (внутри команды) связей соответственно для команды $i$ ⟧:

EL(i)=\sum_{\begin{subarray}{c}u\in\text{team}~i\\ v\not\in\text{team}~i\end{subarray}}1(A_{uv}+A_{vu}>0)\qquad\text{and}\qquad IL(i)=\sum_{u\neq v\in\text{team}~i}1(A_{uv}+A_{vu}>0)\enskip.

На рисунке 3 показано распределение значений индекса EI по командам; во всех командах, кроме одной, индекс EI положительный (среднее значение 0,58, стандартное отклонение 0,23), при этом индекс EI организации в целом равен 0,53. В отличие от этого, индексы EI для организаций, представленные в Krackhardt and Stern (1988), варьируются в диапазоне от -1 до 1, но приводятся только для сетей с очень малым количеством (25-36) узлов. Хотя количество коммуникационных связей как доля от всех возможных связей выше внутри команд, чем между ними (см. рисунок 2), невзвешенный индекс EI является положительным, что указывает на большее количество внешних связей по сравнению с внутренними. Это происходит потому, что количество внешних и внутренних связей в индексе EI не нормализовано по количеству возможных внешних и внутренних связей, а сотрудников, не являющихся членами данной команды (которые могли бы стать внешними связями), гораздо больше, чем сотрудников, являющихся членами этой команды (которые могли бы стать внутренними связями). Мы также показываем на рисунке 3 распределение взвешенных индексов EI, в которых $EL(i)$ и $IL(i)$ заменены на общий объем внешних и внутренних электронных писем соответственно, то есть.

EL_{W}(i)=\sum_{\begin{subarray}{c}u\in\text{team}~i\\ v\not\in\text{team}~i\end{subarray}}A_{uv}+A_{vu}\qquad\text{and}\qquad IL_{W}(i)=\sum_{u\neq v\in\text{team}~i}A_{uv}+A_{vu}\enskip.

Здесь мы видим, что 21 из 88 команд имеют отрицательный взвешенный EI-индекс (среднее значение 0,15, стандартное отклонение 0,27).

4 Новые показатели коммуникации

4.1 Отправленные и полученные электронные письма

Затем мы исследуем динамику отправленных сотрудниками электронных писем по сравнению с полученными. Взаимность связей для ориентированных сетей была хорошо изучена как в бинарных (Garlaschelli and Loffredo, 2004), так и в взвешенных (Squartini et al., 2013) условиях. Взаимность нашей сети электронной почты составляет $r=0.31$ (SD = 0,01) без учета весов и $r=0.40$ (SD = 0,14) с учетом весов. Однако нас интересует взаимность на уровне отдельных узлов. Для этого мы предлагаем две меры взаимности на уровне узлов. Во-первых, мы измеряем долю отправленных электронных писем, которые являются частью взаимных коммуникаций, что мы называем взаимностью отправленных. То есть долю всех отношений электронной почты, в которых $u$ отправил хотя бы одно письмо $v$ среди всех получателей $v$ , которые когда-либо отправляли письмо $u$ . Аналогичным образом мы измеряем долю полученных электронных писем, или взаимность полученных. Для любого отдельного индивида $u$ они определяются как

\text{SR}(u)=\frac{\sum_{v}1(A_{uv}>0)1(A_{vu}>0)}{\sum_{v}1(A_{uv}>0)}\qquad~\text{and}~\qquad\text{RR}(u)=\frac{\sum_{v}1(A_{vu}>0)1(A_{uv}>0)}{\sum_{v}1(A_{vu}>0)}\enskip,

соответственно. На рисунке 4 показана разница этих долей в зависимости от уровня сотрудника, который, как мы помним, представляет собой количество шагов ниже генерального директора в организации по отношению к глубине команды этого сотрудника. Такая нормализация гарантирует, что сотрудники, находящиеся внизу иерархии своей команды, сгруппированы вместе независимо от того, насколько глубока каждая команда. Мы видим, что сотрудники, занимающие более высокие позиции в организации, отправляют электронные письма, которые получают взаимность чаще, чем они отвечают на получаемые письма.

Мы также изучаем динамику отправленных и полученных электронных писем в зависимости от позиции внутри своей команды. Для каждого индивида $u$ в команде $i$ иерархическая позиция (Boeva et al., 2017) составляет

\text{HP}(u)=\frac{\sum_{v\neq u}D_{uv}}{n_{i}-1}\enskip,

где $D_{uv}$ — это иерархическая разница между $u$ и $v\in\text{team}~i$ ,

D_{uv}=\begin{cases}+1&\text{if}~u~\text{is higher than}~v~\text{in the hierarchy}\\ \ \ 0&\text{if}~u~\text{is on the same level as}~v~\text{in the hierarchy}\\ -1&\text{if}~u~\text{is lower than}~v~\text{in the hierarchy}\end{cases}\enskip.

Вдохновленные этим различием, мы определяем позицию отправки и позицию получения для индивида $u$ как

\text{SP}(u)=\frac{\sum_{v\neq u}1(A_{uv}>0)\cdot D_{uv}}{\sum_{v}1(A_{uv}>0)}\qquad~\text{and}~\qquad\text{RP}(u)=\frac{\sum_{v\neq u}1(A_{vu}>0)\cdot D_{vu}}{\sum_{v}1(A_{vu}>0)}\enskip,

соответственно. Таким образом, +1 указывает на то, что каждое письмо было отправлено (получено) кому-то, кто находится ниже в иерархии организации, -1 — кому-то выше в организации, а 0 — пропорционально выше и ниже. Обратите внимание, что каждая сумма нормируется на объем отправлений конкретного сотрудника. Разница этих пропорций показана на рисунке 4 как функция HP. Чем ниже сотрудник находится в организации (чем более отрицательным является его HP), тем выше, в среднем, его позиция отправки по сравнению с позицией получения. Это неудивительно, поскольку существует сильная отрицательная корреляция $(\rho=-0.87)$ между SP и RP, что означает: чем выше вы находитесь в организации, тем более положительной будет эта разница. Кратко говоря, если сотрудник отправляет большинство писем вниз по организационной иерархии, то большинство получаемых им писем, вероятнее всего, отправлены снизу, и наоборот.

Наконец, мы оцениваем утверждение о том, что наиболее важные члены организации — те, кто ближе всего к генеральному директору — имеют больше коммуникационных связей (Cross, Borgatti and Parker, 2002; Nielsen, 2016). На рисунке 4 показано, что в этом утверждении есть доля правды: в среднем как общая степень, так и общая сила в рабочей сети электронной почты уменьшаются для сотрудников, находящихся ниже по организационной диаграмме. В таблице приложения 2 мы показываем, что, если предположить линейную модель, наклоны этих трендов существенно меньше нуля. Изучая отдельные команды, мы можем оценить важность с помощью нескольких дополнительных мер центральности узлов, которые мы не можем вычислить иным образом по вычислительным причинам для всей сети электронной почты. Мы вычисляем четыре меры центральности — посредничество, близость, собственное значение и авторитетность (see Kolaczyk and Csárdi, 2014, for definitions), показанные на рисунке приложения S4⟧.

⟦Fig 4: Показатели обмена сообщениями электронной почты и взаимности на уровне команд в зависимости от организационной позиции. (Вверху) Общая степень и сила в общей сети электронной почты по относительному положению в организации. (Внизу) Слева: Разница долей SR и RR по относительному положению в организационной иерархии. Справа: Разница знаковых долей SP и RP по HP. На всех графиках позиции разбиты на 10 равных групп, и для каждой группы показан коробчатый график вместе со сглаженной кривой (синей) для индивидуальных (не разбитых на группы) данных.

4.2 Дистанция подчинения

Другой подход к изучению связи между организационной структурой и частотой коммуникации заключается в рассмотрении расстояния между двумя сотрудниками на организационной диаграмме. Путь между индивидами $u$ и $v$ представляет собой последовательность ребер, соединяющих их, а длина пути определяется как количество ребер в пути. Для каждой команды мы вычисляем три различных показателя длины пути между каждой парой сотрудников.

Для любых двух сотрудников $u$ и $v$ в организационной диаграмме мы подсчитываем количество шагов вверх $n^{\text{up}}(u,v)>0$ и количество шагов вниз $n^{\text{down}}(v,u)>0$ в кратчайшем пути от $u$ до $v$ . Мы описываем, как эффективно вычислить их в Приложении 5.1. Обратите внимание, что в силу симметрии $n^{\text{up}}(u,v)=n^{\text{down}}(v,u)$ .

Мы определяем три понятия иерархического расстояния в зависимости от этих величин длины пути: иерархическое расстояние, знаковое иерархическое расстояние и ориентированное иерархическое расстояние. Соответственно, эти расстояния между $u$ и $v$ определяются как

	$\displaystyle\text{RD}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,v)+n^{\text{down}}(u,v)\enskip,$
	$\displaystyle\text{SRD}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,v)-n^{\text{down}}(u,v)\enskip,$
	$\displaystyle\text{DRD}(u,v)$	$\displaystyle=\text{RD}(u,v)\cdot\text{sgn}\big(\text{SRD}(u,v)\big)\enskip.$

RD — это просто длина обычного кратчайшего пути. SRD представляет собой меру общего расстояния, пройденного вверх или вниз по организационному дереву для перехода от $u$ к $v$ , которое равно нулю, если $u$ и $v$ находятся на одном уровне, положительно, если $u$ ниже, чем $v$ в организации, и отрицательно в противном случае. SRD близок к определению «агонии», описанному в Gupte et al. (2011): $\text{Agony}(u,v)=\max\{\text{SRD}(v,u)+1,0\}$ . Мы также можем рассматривать SRD как обобщение иерархической разницы (Boeva et al., 2017), поскольку HD — это просто знак SRD. На рисунке S3 в Приложении мы представляем отправленную и полученную позицию, определенную через SRD, в качестве функции иерархической разницы, обобщенной с помощью SRD. Наконец, DRD — это расстояние подчинения, со знаком в зависимости от того, находится ли $u$ выше или ниже $v$ в организации.

Запомните, что только RD является истинным расстоянием; и SRD, и DRD могут быть отрицательными, и ни одно из них не удовлетворяет симметрии или тождеству неразличимых, но в Приложении 5.2 Предложении 1 мы доказываем, что SRD удовлетворяет равенству $\text{SRD}(u,v)=\text{SRD}(u,w)+\text{SRD}(w,v)$ для всех $w$ в дереве, и следовательно, SRD является квазипсевдометрикой на множестве сотрудников (Kim, 1968).

На рисунке 5 показано среднее количество электронных писем, которыми обмениваются пары сотрудников, в зависимости от этих расстояний отчетности. В приложении на рисунке S5 показаны аналогичные графики по частоте коммуникации. В среднем, чем ближе два сотрудника находятся в организационном древе, тем больше они общаются. Это показывает, что коммуникация увеличивается экспоненциально в зависимости от локальной близости к другим, аналогично глобальной кластеризации на рисунке 2.

⟦Fig 5: Попарные расстояния подчинения в организационном дереве и среднее число электронных писем среди всех пар на данном расстоянии подчинения. Расстояния подчинения вычисляются внутри каждой команды, а коробчатые диаграммы обобщают результаты по всем командам. Графики для отдельных команд показаны на рисунке S6 в приложении.⟧.

Зависит ли частота общения между сотрудниками от их относительного ранга в организационной иерархии? Чтобы оценить, являются ли правый и центральный графики на рисунке 5 симметричными относительно нуля, мы выполняем два теста перестановок. Мы определяем множества

S_{k}=\{(u,v):\text{d}(u,v)=k\}\enskip,

которые представляют собой все пары $(u,v)$ , расстояние между которыми равно $k$ . Это позволяет нам определить и вычислить следующую тестовую статистику:

t(A)=\sum_{k=1}^{k_{\max}}\Big(\frac{1}{|S_{k}|}\sum_{(u,v)\in S_{k}}A_{uv}-\frac{1}{|S_{-k}|}\sum_{(u,v)\in S_{-k}}A_{uv}\Big)^{2}\enskip,

где $k_{\max}$ — максимальное наблюдаемое абсолютное расстояние. Если связь между расстоянием в организационной иерархии и коммуникацией является симметричной относительно 0, то пары в $S_{k}$ и $S_{-k}$ должны быть взаимозаменяемыми в отношении их уровней коммуникации. Это побуждает нас использовать тест перестановок, в котором мы получаем нулевое распределение путем перестановки строк/столбцов $A$ в рамках множества $S_{k}\cup S_{-k}$ . Это можно интерпретировать как случайную перестановку количества писем, которыми обмениваются пары, чьи расстояния в организационной иерархии равны $|k|$ . Для каждого повторения мы получаем новую сеть электронной почты $\tilde{A}$ , из которой можем вычислить $t(\tilde{A})$ . По своему дизайну связь между расстоянием в организационной иерархии и коммуникацией в $\tilde{A}$ является симметричной относительно 0 при данной перестановке..

Мы повторяем это $500$ раз в каждой команде, за исключением 4 команд, которые имели $>10,000$ участников, перестановки для которых оказались слишком сложными для вычислений. Мы сравниваем эмпирическое распределение тестовой статистики при перестановке $t(\tilde{A})$ с $t(A)$ , показанное на рисунке S7 в Приложении. Мы обнаруживаем, что направленное расстояние отчетности не является симметричным относительно нуля: то есть мы отвергаем нулевую гипотезу о симметрии при данном распределении перестановок на эмпирическом уровне доверия 95%. С другой стороны, для подписанного расстояния отчетности мы находим, что наблюдаемый результат существенно не отличается от того, чего мы ожидали бы для действительно симметричных отношений. Эмпирическое распределение показано на рисунке S7 в Приложении⟧.

Это означает, что по отношению к SRD коммуникация вверх и вниз по организационной иерархии является симметричной, тогда как по отношению к DRD она асимметрична. Это важно, поскольку Agony Gupte et al. (2011) может быть определена через SRD, и согласно теории о том, что «узлы более высокого ранга с меньшей вероятностью соединяются с узлами более низкого ранга», реконструкция дерева, которую мы рассмотрим в следующем разделе, выполняется путем минимизации agony. Это эмпирически опровергается на основе нашего открытия, что SRD симметрична. Это открытие одновременно опровергает метод минимизации agony и предлагает улучшение, а именно переопределение Agony в терминах DRD.

5 Реконструкция организационной иерархии

Наконец, мы оцениваем существующую методологию реконструкции древовидной структуры по сетевым данным. Каждый из методов делает неявные предположения о взаимосвязи между организационной иерархией и возникающей динамикой коммуникации. Maiya and Berger-Wolf (2009) предлагают модель реконструкции дерева на основе расстояний: «по мере увеличения расстояния между индивидами в иерархическом древе мы предполагаем, что вероятность взаимодействия убывает». Gupte et al. (2011) предлагают метод реконструкции дерева, который минимизирует агонию в коммуникационной сети, основываясь на идее о том, что «когда люди связываются с другими людьми, которые находятся ниже в иерархии, это доставляет им социальную агонию» и, следовательно, «узлы более высокого ранга с меньшей вероятностью связываются с узлами более низкого ранга». В качестве эталонного метода реконструкции дерева мы вычисляем минимальное остовное дерево коммуникационной сети (Prim, 1957). Минимальное остовное дерево графа представляет собой дерево с тем же набором вершин, которое минимизирует сумму весов рёбер. Неявная модель для минимального остовного дерева, следовательно, представляет собой модель, которая минимизирует общее количество писем, отправленных между связанными узлами. Поскольку это противоречит тому, что мы обнаруживаем — самые высокие показатели коммуникации наблюдаются между связанными узлами (Рисунок 5) — мы также реализуем максимальное остовное дерево. Мы называем эти методы «Distance», «Agony», «Min ST» и «Max ST» соответственно..

Для оценки этих подходов мы применяем каждый метод реконструкции отдельно к сетям коммуникации команд, за исключением 16 команд с $>$ 3000 участников. Для алгоритма Agony мы реализуем алгоритм из Tatti (2014). Для каждого метода реконструкции мы вычисляем расстояние от выходного дерева до истинной организационной структуры команды с использованием расстояния Фробениуса и центрального расстояния (Donnat and Holmes, 2018). Определения и интерпретации этих расстояний между деревьями см. в Приложении 6. Мы также измеряем коэффициент классификации «статуса менеджера», неявно присутствующего в методе реконструкции, при котором узел считается «менеджером», если его входящая степень положительна, то есть долю узлов, чьи статусы листьев в реконструированной структуре совпадают с истинной иерархией.

Мы отмечаем, что Agony гарантирует на выходе эйлеров граф, что означает равенство входящих и исходящих степеней, однако это гарантирует, что граф не является деревом. Аналогично, Distance гарантирует создание охватывающего графа, но появление дерева не гарантируется, поскольку решение методом максимального правдоподобия может разместить узел в качестве потомка ненаблюдаемого корня. Мы обнаруживаем, по сути, что использование общего числа писем в качестве весов в модели на основе расстояний приводит к такому тривиальному решению (все узлы являются потомками ненаблюдаемого корня) для всех команд, и в результате мы показываем только результаты на основе невзвешенных коммуникационных сетей.

⟦Fig 6: Производительность методов восстановления организационных деревьев из коммуникационных сетей – Min и Max ST (Prim, 1957), Distance (Maiya and Berger-Wolf, 2009) и Agony (Gupte et al., 2011) – относительно медианного расстояния Min ST. Отрицательные значения Centrality и Frobenius, а также более высокие значения Classification указывают на оценки, более близкие к истинным структурам.

Результаты приведены на Рисунке 6 и показывают, что ни Agony, ни Distance не демонстрируют стабильно лучшие результаты по сравнению с базовым методом при восстановлении особенностей организационной иерархии. Вместо этого наилучшие результаты показывает MaxST, который явно не основан на теории коммуникации. Мы включаем абсолютную производительность каждого метода на Рисунке S8 в Приложении. Хотя метрики Фробениуса и центральности трудно поддаются интерпретации, мы видим, что точность классификации является приемлемой как для Max ST, так и для Agony. Мы также приводим анализ средней разницы в предсказанном уровне как функции уровня вниз от корня. Это служит тестом согласия, ограниченным возрастающими диапазонами уровней. Рисунок S9 в Приложении показывает, что как Min ST, так и Max ST справляются с восстановлением верхней части иерархии лучше, чем нижних уровней.

Чтобы понять, почему эти методы несовершенны, вспомните, что Agony основана на гипотезе, согласно которой узлы с более высоким рангом с меньшей вероятностью общаются с узлами более низкого ранга. Согласно этой неявной теории динамики коммуникации, частота коммуникаций должна быть асимметрично и линейно убывающей вокруг нулевой агонии. Однако в разделе 4.2 мы обнаруживаем, что SRD, который близок к агонии, не является статистически значимо асимметричным относительно нуля (see Gupte et al., 2011, for a non-linear measure of agony). Мы также не наблюдаем линейной связи между разницей уровней в организационной иерархии и паттернами коммуникации: на рисунке 5, вертикальная ось которого представлена в логарифмическом масштабе, показано, что эта связь нелинейно убывает при удалении от нуля. Более того, эта связь может даже не быть монотонно убывающей: между сотрудниками с высоким и низким рангами происходит больше коммуникаций, чем можно было бы ожидать, если бы интенсивность общения монотонно снижалась с увеличением расстояния по вертикали подчинения. Одно из толкований этого наблюдения заключается в том, что между узлами, находящимися на большом расстоянии друг от друга в организационном дереве, коммуникационное трение меньше, чем можно было бы ожидать в рамках теории коммуникации «Agony». Вместо этого прямые линии связи возникают на больших организационных расстояниях, что приводит к формированию эмерджентной коммуникационной сети со свойствами тесного мира. Эта нелинейность и немонотонность также отчасти объясняют, почему основанный на расстоянии метод из Maiya and Berger-Wolf (2009) может не справиться с задачей точного восстановления истинной организационной иерархии. Другой возможной причиной является то, что алгоритм оптимизации в Maiya and Berger-Wolf (2009) является жадным и может прийти к локальному решению, а не к глобальному оптимуму.

Наконец, расстояние Фробениуса, которое одинаково учитывает несоответствия как ребер, так и отсутствия ребер, закономерно принимает небольшие значения для метода «Distance», поскольку дерево имеет всего $n-1$ ребер (из $\binom{n}{2}$ возможных ребер), а процедура реконструкции Distance склонна выдавать граф с меньшим количеством ребер. С другой стороны, расстояние Фробениуса велико для Agony, так как Agony создает эйлеров граф, который обычно имеет много ребер.

6 Обсуждение

В данном исследовании мы обнаруживаем, что в крупной и успешной компании по разработке программного обеспечения модели коммуникации тесно связаны с организационной структурой, а общение между сотрудниками увеличивается по мере их организационной близости как глобально в масштабах всей организации (Рисунок 2), так и локально внутри команд (Рисунок 3). Рисунок 2 также свидетельствует о наличии феномена «элитного клуба» на вершине организации, при котором наиболее центральные сотрудника встроены в плотные сообщества (Colizza et al., 2006; Dong et al., 2015). Аналогичным образом, Рисунок 4 и Рисунок Приложения S4 показывают, что показатели центральности или важности сотрудников в коммуникационной сети выше для сотрудников, занимающих более высокие позиции в организационной иерархии, что согласуется с несколькими фундаментальными теориями организационного поведения (Namata, Getoor and Diehl, 2006; Michalski, Palus and Kazienko, 2011; Wang et al., 2013).

Вдохновленные использованием иерархических различий в метрике иерархического положения (Boeva et al., 2017), мы представили новые статистические меры коммуникативной взаимности. Мы обнаруживаем, что информация течет асимметрично — чаще вверх, чем вниз по организационной иерархии, — и что взаимность общения зависит от положения сотрудников в организации (Рисунок 4). В частности, высокопоставленные сотрудники отправляют электронные письма, на которые отвечают чаще, чем они сами отвечают на чужие письма. Это открытие подтверждает агонию (Gupte et al., 2011) как полезную меру организационной дистанции, поскольку частота общения уменьшается по мере увеличения расстояния между сотрудниками. Тем не менее, мы обнаруживаем, что возникающая динамика коммуникации гораздо сложнее, чем та, которую предсказывают существующие теории. Следовательно, методы реконструкции, основанные на этих чрезмерно упрощенных теориях, неадекватно отражают истинные взаимосвязи между этими топологическими структурами. Агония, например, предполагает, что общение в социальных сетях управляется скрытой социальной иерархией, в которой более популярные индивиды (находящиеся выше в социальной иерархии) с меньшей вероятностью будут общаться с индивидами, находящимися ниже их в социальной иерархии. Тем не менее, основываясь на незначимости нашего теста перестановок в отношении связи между агонией (эквивалентной подписанной дистанции отчетности) и частотой общения, а также на плохой производительности метода реконструкции на основе агонии на Рисунке 6, эта теория может не быть точной моделью того, как работает общение в организации, что неудивительно, поскольку мы должны ожидать, что информация течет как вверх, так и вниз в функционирующей организации. Аналогичным образом, Maiya and Berger-Wolf (2009) предполагают, что общение монотонно уменьшается с расстоянием отчетности, что не соответствует тому, что мы обнаруживаем на Рисунке 5. Вместо этого более реалистичный метод, основанный на расстоянии для организаций, может поощрять «тесные» связи между высшим руководством и рядовыми сотрудниками, а также асимметричное общение вверх и вниз по иерархии.

У этой работы есть несколько ограничений. Нам не удалось сопоставить 11% сотрудников в коммуникационных и организационных структурах, что может повлиять на показатели командных и глобальных сводных характеристик. В частности, если отсутствующие сотрудники имели роли или структурные позиции, существенно отличающиеся от позиций наблюдаемых сотрудников, это могло привести к предвзятости выборки, способной изменить обнаруженные нами связи между характеристиками сети и ролью. Временное разрешение данных о коммуникациях — еще одно возможное ограничение: хотя наши показатели коммуникаций основаны на наблюдениях, а не на опросах, подсчеты агрегируются за весь месяц. По этой причине мы не проводили временной или продольный анализ динамики коммуникаций. У нас также нет информации об отдельных письмах и множественных получателях, что мешает нам отфильтровывать массовые рассылки от супер-отправителей (Guimera et al., 2006; Onnela et al., 2007) и изучать, кто инициирует общение в зависимости от позиции в иерархии. Аналогичным образом у нас нет метаданных о сотрудниках и командах. Самое главное, нам не хватает метрик производительности и эффективности, которые позволили бы нам давать конкретные бизнес-рекомендации по оптимизации организационной структуры при наличии показателей производительности команд или сотрудников. Тем не менее, это предполагает причинно-следственный анализ для выяснения того, способствуют ли организационные связи коммуникации или люди в плотных организациях от природы более общительны. Кроме того, дополнительная контекстуальная информация (например, стаж работы в компании, предыдущие должности в компании, проекты, назначенные за время анализа, и т. д.) позволила бы дать более обоснованную интерпретацию результатов. Наконец, вычисления для мер центральности, отличных от степени вершины, расстояний подчинения и методов реконструкции оказались невыполнимы для всей сети электронной почты в целом, и вполне возможно, что результаты для отдельных команд не отражают ситуацию во всей организации в целом..

Изучение организационных коммуникаций в крупных и успешных компаниях все еще остается развивающейся областью. Как мы показали, некоторые теории организации и коммуникации отражают важные особенности реальных паттернов коммуникации. Но эти теории могут оказаться слишком упрощенными, чтобы адекватно объяснять или предсказывать организационные структуры, используя только данные о коммуникации. Эмпирическая проверка организационных гипотез на реальном наборе данных, как мы попытались сделать здесь, — это один из способов для исследователей в области менеджмента убедиться, что содержательные гипотезы о коммуникативной динамике соответствуют действительности. Более точные показатели направленного потока коммуникаций внутри организационных структур, такие как предложенные выше знаковые и направленные расстояния подотчетности, могли бы помочь исследователям понять эту эмерджентную коммуникативную динамику..

Аналогично, усовершенствованные методы реконструкции организаций должны основываться на реалистичных представлениях о том, как направленная динамика коммуникации связана с организационной структурой, а не на поверхностных теориях популярности или важности сотрудников. Разработка реалистичных объяснительных моделей коммуникации, обусловленных организационным деревом, может позволить более точно реконструировать организационные деревья. Наиболее перспективным направлением является обобщение подхода, основанного на расстоянии, в Maiya and Berger-Wolf (2009),

p(A_{uv}\mid T)=f(\alpha\cdot d_{\beta}(u,v))\enskip,

где $f$ — это некоторая функция расстояния — такая как RD, SRD или DRD — между $u$ и $v$ в дереве $T$ , а $\alpha$ и $\beta$ являются гиперпараметрами. Это условное правдоподобие предполагает байесовский подход, который потребует разработки априорных распределений на пространстве деревьев. Очевидным узким местом является вычислительная сложность: попарные расстояния необходимо пересчитывать каждый раз, когда изменяется $T$ , что затрудняет реконструкцию в масштабе крупной организации. Кроме того, оценка и теоретический анализ таких методов будут отставать до тех пор, пока не появится больше мер сходства между деревьями..

Условием привязки к индексированному по времени организационному дереву продольный анализ может показать, как изменения в организационной структуре соотносятся с изменениями в коммуникации, выявляя индивидуальные реакции на потрясения, аналогичные командным реакциям, изученным в Athreya et al. (2022). Добавление времени потребует внимательного отслеживания изменений во всей организации: как сотрудников, которые уходят, присоединяются или получают повышение, так и команд, которые добавляются, распускаются, объединяются или разделяются. Это открывает возможности для изучения удержания персонала, продвижения по службе и текучести кадров, а также роли должности и дистанции как функции времени.

Наконец, наши новые метрики, которые обеспечивают теоретически обоснованный подход к измерению соответствия между неизвестной или выведенной иерархией и общей сетью, применимы к любому сетевому анализу, в котором скрытая иерархия известна, предполагается или требуется. Помимо организационной литературы, мы полагаем, что эта и будущая работа может оказаться полезной во многих других областях: социальные сети со скрытыми социальными иерархиями; сети головного мозга со скрытыми функциональными или структурными иерархиями; биологические или экологические корреляционные сети со скрытыми филогенетическими деревьями; сети коэкспрессии генов со скрытыми иерархиями генов; сети потоков со скрытой структурой. Эти приложения потребуют определения особенностей того, как соответствующие сети возникают как функция их соответствующих иерархий, что, как мы ожидаем, будет отличаться от организационных иерархий. Также возможно, что полное дерево будет недоступно в других исследованиях или приложениях. Наши метрики по-прежнему будут применимы к иерархиям на уровне сообществ, то есть когда узлы принадлежат сообществам с иерархической структурой, однако могут потребоваться новые методы, если доступны только частичное дерево или попарные расстояния между деревьями.

Благодарность

Мы признательны Редактору и двум рецензентам за их ценные замечания. Мы также благодарны Джонатану Ларсону (Jonathan Larson) и Кэри Прибу (Carey Priebe) за полезное обсуждение нашей работы. Данная работа была поддержана грантом Национальных институтов здоровья, Национального института здоровья ребенка и развития человека имени Юнис Кеннеди Шрайвер (1DP2HD091799-01).).

Список литературы

Albert and Barabási (2002) [author] Альберт, Рэка Р. и Барабаши, Альберт-Ласло А.-Л. (2002). Статистическая механика сложных сетей. Обзоры современной физики 74 47.
⟦Athreya et al. (2022) [автор] Athreya, AvantiA., Lubberts, ZacharyZ., Park, YoungserY. and Priebe, Carey EC. E. (2022). Обнаружение скрытой динамики во временных рядах сетей. Препринт arXiv:2205.06877.
⟦Bastian, Heymann and Jacomy (2009) Bastian, M., Heymann, S. and Jacomy, M. (2009). Gephi: an open source software for exploring and manipulating networks. In Proceedings of the international AAAI conference on web and social media 3 361–362.
⟦Boeva et al. (2017) Боева, В., Лундберг, Л., Кота, С. М. Х. и Скольд, Л. (2017). Аналіз організаційної структури за допомогою методів валідації кластерів: оцінка електронних комунікацій на організаційному рівні. В 2017 IEEE International Conference on Data Mining Workshops (ICDMW) 170–176. IEEE.
⟦Broido and Clauset (2019) [author] Broido, Anna DA. D. and Clauset, AaronA. (2019). Scale-free networks are rare. Nature Communications 10 1–10.
⟦Capobianco and Molluzzo (1979) [author] Capobianco, Michael FM. F. and Molluzzo, John CJ. C. (1979). The strength of a graph and its application to organizational structure. Social Networks 2 275–283.
⟦Clauset, Moore and Newman (2008) [автор] Клаузет, Аарон А., Мур, Кристофер К. и Ньюман, Марк Э. Дж. М. (2008). Иерархическая структура и прогнозирование отсутствующих связей в сетях. Nature 453 98–101.
⟦Clauset, Shalizi and Newman (2009) [author] Clauset, AaronA., Shalizi, Cosma RohillaC. R. and Newman, Mark EJM. E. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review 51 661–703.
⟦Colizza et al. (2006) [author] Колица, Виттория В., Фламмини, Алессандро А., Серрано, М. Анхелес М. А. и Веспиньяни, Алессандро А. (2006). Обнаружение иерархии богатых клубов в сложных сетях. Nature Physics 2 110–115.
⟦Creamer et al. (2007) Creamer, G., Rowe, R., Hershkop, S. and Stolfo, S. J. (2007). Segmentation and automated social hierarchy detection through email network analysis. In International Workshop on Social Network Mining and Analysis 40–58. Springer.
⟦Cross, Borgatti and Parker (2002) [автор] Кросс, Роб Р., Боргати, Стивен П. и Паркер, Эндрю А. (2002). Делая невидимую работу видимой: использование анализа социальных сетей для поддержки стратегического сотрудничества. California Management Review 44 25–46.
⟦Cross, Parise and Weiss (2007) [author] Cross, RobertR., Parise, SalvatoreS. and Weiss, Leigh ML. M. (2007). The role of networks in organizational change. The McKinsey Quarterly 3 28–41.
⟦Diesner and Carley (2005) Diesner, J. and Carley, K. M. (2005). Исследование коммуникационных сетей на основе корпуса электронной почты Enron. In SIAM International Conference on Data Mining: Workshop on Link Analysis, Counterterrorism and Security, Newport Beach, CA 3–14. Citeseer.
⟦Dong et al. (2015) [author] Dong, YuxiaoY., Tang, JieJ., Chawla, Nitesh VN. V., Lou, TianchengT., Yang, YangY. and Wang, BaiB. (2015). Инференс социального статуса и эффектов богатого клуба в коммуникационных сетях предприятий. PloS One 10 e0119446.
⟦Donnat and Holmes (2018) [автор] Доннат, Клэр С. и Холмс, Сьюзан С. (2018). Отслеживание динамики сетей: обзор с использованием графовых расстояний. Анналы прикладной статистики 12 971–1012.
Eckhaus and Sheaffer (2018) [автор] Экхаус, Эяль Э. и Шеаффер, Закари З. (2018). Выявление управленческого высокомерия: на примере Энрон. Управление рисками 20 304–325.
⟦Edge et al. (2020) [author] Edge, DarrenD., Larson, JonathanJ., Trandev, NikolayN., Shah, Neha ParikhN. P., Buractaon, CarolynC., Caurvina, NicholasN., Evans, NathanN. and White, Christopher MC. M. (2020). Картирование рабочих групп: визуальный анализ культуры сотрудничества. arXiv preprint arXiv:2005.00402.
Fire and Puzis (2016) [author] Fire, MichaelM. and Puzis, RamiR. (2016). Organization mining using online social networks. Networks and Spatial Economics 16 545–578.
⟦Galbraith (2008) [author] Galbraith, Jay RJ. R. (2008). Organization design. Handbook of Organization Development 325–352.
⟦Garlaschelli and Loffredo (2004) [author] Garlaschelli, DiegoD. and Loffredo, Maria IM. I. (2004). Patterns of link reciprocity in directed networks. Physical review letters 93 268701.
⟦Gillespie (2015) [author] Gillespie, Colin S.C. S. (2015). Fitting Heavy Tailed Distributions: The poweRlaw Package. Journal of Statistical Software 64 1–16. 10.18637/jss.v064.i02
⟦Guimera et al. (2006) [author] Guimera, RR., Danon, LL., Diaz-Guilera, AA., Giralt, FF. and Arenas, AA. (2006). Реальная коммуникационная сеть за формальной схемой: Структура сообществ в организациях. Journal of Economic Behavior & Organization 61 653–667.
⟦Gupte et al. (2011) Gupte, M., Shankar, P., Li, J., Muthukrishnan, S. and Iftode, L. (2011). Finding hierarchy in directed online social networks. In Proceedings of the 20th International Conference on World Wide Web 557–566.
⟦Hatch and Schultz (1997) [author] Hatch, Mary JoM. J. and Schultz, MajkenM. (1997). Relations between organizational culture, identity and image. European Journal of Marketing.
⟦Holtzhausen (2002) [author] Holtzhausen, DerinaD. (2002). The effects of a divisionalised and decentralised organisational structure on a formal internal communication function in a South African organisation. Journal of Communication Management.
⟦Hossain (2009) [author] Hossain, LiaquatL. (2009). Effect of organisational position and network centrality on project coordination. International Journal of Project Management 27 680–689.
Kim (1968) [author] Ким, Ён-ВунY.-W. (1968). Псевдоквазиметрические пространства. Процедуры Японской академии 44 1009–1012.
⟦Klimt and Yang (2004) Климт, Б. и Янг, И. (2004). Корпус Enron: новый набор данных для исследований в области классификации электронной почты. В материалах Европейской конференции по машинному обучению 217–226. Шпрингер.
⟦Kolaczyk and Csárdi (2014) [автор] Колачик, Эрик Д. и Чарди, Габор. (2014). Статистический анализ сетевых данных с помощью R 65. Шпрингер.
Krackhardt and Hanson (1993) [author] Кракхардт, Дэвид и Хансон, Джеффри Р. (1993). Неформальные сети: Компания за официальной схемой. Гарвард Бизнес Ревью 104-111.
⟦Krackhardt and Stern (1988) [автор] Кракхардт, Дэвид и Стерн, Роберт Н. (1988). Неформальные сети и организационные кризисы: экспериментальное моделирование. Социальная психология ежеквартально 123–140.
⟦Maiya and Berger-Wolf (2009) Майя, А. С. и Бергер-Вольф, Т. Ю. (2009). Вывод иерархии максимального правдоподобия в социальных сетях. В 2009 Международная конференция по вычислительной науке и инженерии 4 245–250. IEEE.
⟦Michalski, Palus and Kazienko (2011) Michalski, R., Palus, S. and Kazienko, P. (2011). Matching organizational structure and social network extracted from email communication. In International Conference on Business Information Systems 197–206. Springer.
⟦Namata, Getoor and Diehl (2006) Намата, Г., Гетоур, Л. и Диль, К. (2006). Вывод формальных должностей в архивах электронной почты организации. В сб. трудов Семинара ICML по статистическому анализу сетей.
⟦Newman (2006) [автор] Ньюман, Марк Э. Дж. (2006). Модульность и структура сообществ в сетях. Труды Национальной академии наук 103 8577–8582.
⟦Nielsen (2016) [автор] Нильсен, Шантрель К. (2016). Что рабочая электронная почта может рассказать о производительности и потенциале. Гарвард Бизнес Ревью.
⟦Nurek and Michalski (2020) [author] Nurek, MateuszM. and Michalski, RadosławR. (2020). Combining machine learning and social network analysis to reveal the organizational structures. Applied Sciences 10 1699.
⟦Onnela et al. (2007) [author] Onnela, J-PJ.-P., Saramäki, JariJ., Hyvönen, JorkkiJ., Szabó, GyörgyG., Lazer, DavidD., Kaski, KimmoK., Kertész, JánosJ. and Barabási, A-LA.-L. (2007). Structure and tie strengths in mobile communication networks. Proceedings of the National Academy of Sciences 104 7332–7336.
Page et al. (1999) [author] Page, LawrenceL., Brin, SergeyS., Motwani, RajeevR. and Winograd, TerryT. (1999). The PageRank citation ranking: Bringing order to the web. Technical Report, Stanford InfoLab.
⟦Palus, Brodka and Kazienko (2011) [author] Palus, SebastianS., Brodka, PiotrP. and Kazienko, PrzemyslawP. (2011). Оценка организационной структуры на основе взаимодействий по электронной почте. International Journal of Knowledge Society Research (IJKSR) 2 1–13.
⟦Prim (1957) [автор] Прим, Роберт КлейР. К. (1957). Сети кратчайших соединений и некоторые обобщения. The Bell System Technical Journal 36 1389–1401.
⟦Robbins (2004) [author] Роббинс, Стивен П. (2004). Организационная теория: структура, проектирование и приложения.
⟦Rowe et al. (2007) Роу, Р., Кример, Дж., Хершкоп, С. и Столфо, С. Дж. (2007). Автоматизированное определение социальной иерархии посредством анализа сетей электронной почты. В Трудах 9-го семинара WebKDD и 1-го SNA-KDD 2007 по веб-майнингу и анализу социальных сетей 109–117.
⟦Shetty and Adibi (2004) [author] Shetty, JiteshJ. and Adibi, JafarJ. (2004). The Enron email dataset database schema and brief statistical report. Information sciences institute technical report, University of Southern California 4 120–128.
⟦Sims, Sinitsyn and Eidenbenz (2014) [author] Sims, Benjamin HB. S., Sinitsyn, Nikolai N. and Eidenbenz, Stephan JS. J. (2014). Hierarchical and matrix structures in a large organizational email network: visualization and modeling approaches. In Social Network Analysis-Community Detection and Evolution 27–43. Springer.
⟦Squartini et al. (2013) [author] Squartini, TizianoT., Picciolo, FrancescoF., Ruzzenenti, FrancoF. and Garlaschelli, DiegoD. (2013). Reciprocity of weighted networks. Scientific Reports 3 1–9.
⟦Tatti (2014) Татти, Н. (2014). Более быстрый путь к агонии. В Объединенной европейской конференции по машинному обучению и поиску знаний в базах данных 163–178. Шпрингер.
⟦Tichy, Tushman and Fombrun (1979) [author] Тичи, Ноэль М. М., Тушман, Майкл Л. М. Л. и Фомбрун, Чарльз К. (1979). Анализ социальных сетей для организаций. Академи Менеджмент Ревью 4 507–519.
⟦Wang et al. (2013) [author] Wang, YiY., Iliofotou, MariosM., Faloutsos, MichalisM. and Wu, BinB. (2013). Analyzing Communication Interaction Networks (CINs) in enterprises and inferring hierarchies. Computer Networks 57 2147–2158.
⟦Zhang et al. (2009) [author] Zhang, ChuanleiC., Hurst, William BW. B., Lenin, Rathinasamy BR. B., Yuruk, NurcanN. and Ramaswamy, SriniS. (2009). Анализ организационных структур с использованием социального сетевого анализа. In Advances in Enterprise Engineering III 143–156. Springer.

, , и

??Кафедра статистики, Университет штата Северная Каролина

??Офис главного экономиста, исследования Майкрософт

??Кафедра биостатистики Школы общественного здравоохранения Йельского университета

??Кафедра статистики и науки о данных, Йельский университет

??Кафедра экологии и эволюционной биологии, Йельский университет

??Йельская школа менеджмента

??RAND Corporation

1 Анализ коммуникации и организационной структуры в корпусе Enron

Корпус электронной почты Enron состоит из переписки между группой ключевых сотрудников компании в преддверии ее банкротства в 2001 году (Klimt and Yang, 2004) и использовался для изучения связи между организационной иерархией и паттернами коммуникации. Мы суммируем соответствующие анализы в Таблице 1.

Citation	Task	Method
Shetty and Adibi (2004)	Classify rank	Entropy
Namata, Getoor and Diehl (2006)	Classify rank	Email counts
Rowe et al. (2007)	Classify rank	Flow and topological statistics
Creamer et al. (2007)	Reconstruct organization	Classify rank then add edges
Hossain (2009)	Classify rank	Centrality
Zhang et al. (2009)	Predict missing rank	Sent vs received email counts
Michalski, Palus and Kazienko (2011)	Classify rank	Centrality
Palus, Brodka and Kazienko (2011)	Compare hierarchies	Hierarchical Position vs Social Score
Wang et al. (2013)	Classify rank	PageRank modification
Dong et al. (2015)	Classify rank	Structural holes
Nurek and Michalski (2020)	Classify rank	Exogenous nodal information

⟦Table 1: Обзор использования корпуса Enron (Klimt and Yang, 2004) в литературе.

2 Масштабно-инвариантный анализ

Основной характеристикой сетевого анализа является изучение распределения степеней сети, и одно из самых распространенных убеждений заключается в повсеместном распространении безмасштабных сетей (Albert and Barabási, 2002). Однако в более недавнем исследовании делается вывод, что безмасштабные сети встречаются редко (Broido and Clauset, 2019). Используя ту же методологию, мы классифицируем сети электронной почты на уровне команд, что суммировано на рисунке S1. Обратите внимание, что в нашем анализе мы учитываем каждую команду, несмотря на то, что только 9 из 88 команд удовлетворяют исходным критериям включения из Broido and Clauset (2019), согласно которым средняя степень меньше $\sqrt{n}$ .

⟦Fig S1: Масштабно-инвариантный анализ на основе Broido and Clauset (2019), выполненный на уровне команд.

3 Сравнение сводных статистических показателей сети

Существует множество сводных сетевых статистик, которые мы можем вычислить как для сети электронной почты, так и для организационного дерева. На рисунке S2 мы показываем четыре наиболее четкие взаимосвязи между индивидуальными сводными сетевыми статистиками организационного дерева команды (ось x) и соответствующей им сетью электронной почты (ось y). Начиная с верхнего левого угла и двигаясь по часовой стрелке, коэффициенты корреляции Пирсона составляют $\rho~=-0.84,0.75,0.58$ и $-0.65$ .

⟦Fig S2: Различные графики, сравнивающие организационное дерево (ось x) и сеть электронной почты (ось y). Точки расцвечены по командам, как на рисунке 1⟧.

4 Важность в сети электронной почты

4.1 Иерархическая позиция SRD

Мы можем обобщить иерархическую позицию, заменив иерархическое различие на SRD:

\text{SRD HP}(u)=\frac{\sum_{v\neq u}\text{SRD}(u,v)}{n_{i}-1}\enskip.

Это также позволяет нам определить позицию отправки и получения в терминах SRD:

	$\displaystyle\text{SRD SP}(u)$	$\displaystyle=\frac{\sum_{v\neq u}1(A_{uv}>0)\cdot\text{SRD}(u,v)}{\sum_{v}1(A_{uv}>0)}$
	$\displaystyle\text{SRD RP}(u)$	$\displaystyle=\frac{\sum_{v\neq u}1(A_{vu}>0)\cdot\text{SRD}(u,v)}{\sum_{v}1(A_{vu}>0)}\enskip.$

Аналогично рисунку 4, мы представляем разницу этих пропорций в зависимости от SRD HP на рисунке S3.

⟦Fig S3: SP и RP по HP с использованием SRD вместо иерархической разницы. Мы распределяем позиции по 10 равным группам и показываем диаграмму размаха внутри каждой группы вместе со сглаженной кривой (синей) для индивидуальных (не распределенных по группам) данных.

4.2 Линейная модель позиции по степени/силе

На рисунке 4 показано, что и степень, и сила связаны с позицией в иерархии отрицательно. То есть, чем ниже сотрудник находится в иерархии своей команды, тем ниже его степень/сила. Чтобы оценить, является ли эта связь значимой, мы запускаем четыре линейные модели позиции относительно (логарифма) степени и (логарифма) силы. В таблице 2 приведены оценки коэффициентов и стандартные ошибки, которые показывают, что все четыре связи существенно отличаются от нуля.

Model	$\widehat{\beta}_{0}$ (SE)	$\widehat{\beta}_{1}$ (SE)
$\ \ \phantom{\log~}\text{Degree}=\beta_{0}+\beta_{1}\cdot\text{Level}/\text{Depth}+\varepsilon$	505.70 (4.66)	-374.22 (6.69)
$\ \ \log~\text{Degree}=\beta_{0}+\beta_{1}\cdot\text{Level}/\text{Depth}+\varepsilon$	1625.32 (14.73)	-1117.26 (21.26)
$\phantom{\log~}\text{Strength}=\beta_{0}+\beta_{1}\cdot\text{Level}/\text{Depth}+\varepsilon$	6.20 (0.02)	-1.90 (0.02)
$\log~\text{Strength}=\beta_{0}+\beta_{1}\cdot\text{Level}/\text{Depth}+\varepsilon$	7.35 (0.02)	-1.89 (0.03)

⟦Table 2: Сводка линейных моделей, оценивающих связь между позицией и степенью/силой на рисунке 4⟧.

4.3 Меры центральности

Мы хотим оценить, соответствует ли важность в сети электронной почты важности в организации. Мы оцениваем это для каждой команды, а важность в организационной структуре команды определяется как относительное положение. Для оценки важности в сети электронной почты мы рассматриваем четыре меры центральности: посредничество, близость, центральность по собственному вектору и авторитетность (see Kolaczyk and Csárdi, 2014, for definitions), что показано на рисунке S4.

⟦Fig S4: Показатели центральности по относительной позиции в иерархии. Во всех графиках относительные позиции были разбиты на 10 равных групп. Мы показываем график с усами (box plot) в пределах каждого бина вместе со сглаженной кривой (синей) исходных данных.

5 Траекторный анализ

5.1 Вычисление $n^{\text{up}}$ и $n^{\text{down}}$

В дереве $T$ существует единственный кратчайший путь между любыми двумя узлами $u,v\in V(T)$ . Этот кратчайший путь может содержать шаги как вверх, так и вниз по дереву, и следовательно, его длина равна сумме количества шагов вверх и вниз, $n^{\text{up}}(u,v)+n^{\text{down}}(u,v)$ . Алгоритм Дейкстры используется для вычисления длин кратчайших путей между узлами в графе и может быть модифицирован для вычисления $n^{\text{up}}(u,v)$ и $n^{\text{down}}(u,v)$ следующим образом.

Сначала предположим, что $T$ направлен вниз, то есть входящая степень корневого узла равна 0, а все остальные узлы имеют входящую степень, равную 1. Создайте транспонированную матрицу для $T$ , направленную вверх, скажем $T^{T}$ , а затем создайте граф $G=T\cup T^{T}$ . Обратите внимание, что матрица смежности для $G$ теперь является симметричной. Мы наделяем весами рёбра $G$ таким образом, что,

G_{uv}=\begin{cases}p&\text{if }~T_{uv}=1\\ q&\text{if }~T^{T}_{uv}=1\\ 0&\text{else}\end{cases}\enskip,

где $p$ и $q$ являются простыми числами и $p>>q$ . Далее, запустите алгоритм Дейкстры на $G$ , который вернет длины кратчайших (взвешенных) путей между всеми узлами, скажем $d(u,v)$ . Наконец, мы можем восстановить искомые величины как

	$\displaystyle n^{\text{up}}(u,v)$	$\displaystyle=\Big(d_{uv}\pmod{p}\Big)/q$
	$\displaystyle n^{\text{down}}(u,v)$	$\displaystyle=\Big(d_{uv}-q\cdot n^{\text{up}}(u,v)\Big)/p\enskip.$

В наших расчетах мы берем $p=101$ и $q=3$ .

5.2 Дистанции отчетности

И подписанное отчетное расстояние, и направленное отчетное расстояние могут быть отрицательными, поэтому ни то, ни другое не является истинной метрикой. Более того, ни одно из них не удовлетворяет свойству различимости неразличимых, поскольку любые два узла, находящихся на одном уровне, будут иметь SRD и DRD, равные нулю. Аналогично, ни одно из них не удовлетворяет симметрии. Тем не менее, оба они удовлетворяют отрицательной симметрии, так как $\text{SRD}(u,v)=-\text{SRD}(v,u)$ и $\text{DRD}(u,v)=-\text{DRD}(v,u)$ .

DRD не удовлетворяет неравенству треугольника. В качестве одного из контрпримеров предположим, что $w$ подчиняется непосредственно $v$ , а $u$ и $v$ являются непосредственными подчиненными некоторого четвертого узла. Тогда $\text{DRD}(u,v)=0$ , но $\text{DRD}(u,w)=-3$ и $\text{DRD}(w,v)=1$ .

Интересно, что SRD удовлетворяет неравенству треугольника.

Proposition 1.

Пусть $T$ представляет собой дерево. Для любого $u,v,w\in V(T)$ ,

\text{SRD}(u,v)=\text{SRD}(u,w)+\text{SRD}(w,v)\enskip.

Доказательство.

Пусть $u,v,w\in V(T)$ . Если любые два узла совпадают, то результат тривиален, так как $n^{\text{up}}(u,u)=n^{\text{down}}(u,u)=0$ .

Далее, пусть $u,v,w\in V(T)$ будут различными. Предположим, что $w$ лежит на кратчайшем пути из $u$ в $v$ . Отсюда следует, что $\text{RD}(u,v)=\text{RD}(u,w)+\text{RD}(w,v)$ . Таким образом

$\displaystyle n^{\text{up}}(u,v)+n^{\text{down}}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,w)+n^{\text{down}}(u,w)+n^{\text{up}}(w,v)+n^{\text{down}}(w,v)$
	$\displaystyle\implies\quad$	$\displaystyle n^{\text{up}}(u,v)-n^{\text{down}}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,w)+n^{\text{down}}(u,w)+n^{\text{up}}(w,v)+n^{\text{down}}(w,v)-2n^{\text{down}}(u,v)$
	$\displaystyle\implies\quad$	$\displaystyle\text{SRD}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,w)-n^{\text{down}}(u,w)+n^{\text{up}}(w,v)-n^{\text{down}}(w,v)$
	$\displaystyle\ \ \ -2\Big(n^{\text{down}}(u,v)-n^{\text{down}}(u,w)-n^{\text{down}}(v,w)\Big)$
	$\displaystyle=\text{SRD}(u,w)+\text{SRD}(w,v)\enskip.$

Последнее равенство обусловлено тем фактом, что, поскольку $w$ лежит на кратчайшем пути от $u$ до $v$ , $n^{\text{down}}(u,v)=n^{\text{down}}(u,w)+n^{\text{down}}(v,w)$ .

С другой стороны, предположим, что $w$ не лежит на кратчайшем пути от $u$ до $v$ . Мы действуем методом математической индукции по длине кратчайшего пути от $u$ до $w$ . Если $\text{RD}(u,w)=1$ , то $u$ и $w$ связаны. Без потери общности примем $n^{\text{up}}(u,w)=1$ и $n^{\text{down}}(u,w)=0$ . Тогда кратчайший путь от $w$ до $v$ ровно на одно ребро длиннее кратчайшего пути от $u$ до $v$ . То есть $\text{RD}(w,v)=1+\text{RD}(u,v)$ . Таким образом

$\displaystyle n^{\text{up}}(u,v)+n^{\text{down}}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(w,v)+n^{\text{down}}(w,v)-1$
	$\displaystyle\implies\quad$	$\displaystyle n^{\text{up}}(u,v)-n^{\text{down}}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(w,v)+n^{\text{down}}(w,v)-1-2n^{\text{down}}(u,v)$
	$\displaystyle\implies\quad$	$\displaystyle\text{SRD}(u,v)$	$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,w)-n^{\text{down}}(u,w)+n^{\text{up}}(w,v)-n^{\text{down}}(w,v)$
	$\displaystyle\ \ \ -2-2n^{\text{down}}(u,v)+2n^{\text{down}}(w,v)$
	$\displaystyle=\text{SRD}(u,w)+\text{SRD}(w,v)\enskip.$

Предпоследнее равенство использует тот факт, что $n^{\text{up}}(u,w)-n^{\text{down}}(u,w)=1$ Чтобы увидеть последнее равенство, заметим, что поскольку $n^{\text{up}}(u,w)=1$ , мы знаем, что $u$ должен подчиняться непосредственно $w$ . Более того, поскольку $w$ не лежит на пути от $u$ к $v$ , первый шаг на кратчайшем пути от $u$ к $v$ должен быть направлен вниз. Следовательно, кратчайший путь от $w$ к $v$ должен проходить через $u$ . Отсюда следует, что $n^{\text{down}}(w,v)=n^{\text{down}}(u,v)+1$ , следовательно

2-2n^{\text{down}}(u,v)+2n^{\text{down}}(w,v)=2\cdot\big(1-n^{\text{down}}(u,v)+n^{\text{down}}(w,v)\big)=0\enskip.

Установив нашу базу для индукции, предположим, что $\text{SRD}(u,v)=\text{SRD}(u,w)+\text{SRD}(w,v)$ выполняется для $\text{RD}(u,w)=k$ . Мы закончим, если сможем показать, что результат выполняется, когда $\text{RD}(u,w)=k+1$ .

Если $\text{RD}(u,w)=k+1$ , то на кратчайшем пути от $z$ до $u$ существует точка $w$ . Поскольку $\text{RD}(u,w)=\text{RD}(u,z)+\text{RD}(z,w)$ , мы знаем, что $\text{RD}(u,z)\leq k$ и $\text{RD}(z,w)\leq k$ . По предположению отсюда следует, что $\text{SRD}(u,v)=\text{SRD}(u,z)+\text{SRD}(z,v)$ и $\text{SRD}(z,v)=\text{SRD}(z,w)+\text{SRD}(w,v)$ . Объединяя это вместе, получаем

	$\displaystyle\text{SRD}(u,v)$	$\displaystyle=\text{SRD}(u,z)+\text{SRD}(z,w)+\text{SRD}(w,v)$
		$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,z)-n^{\text{down}}(u,z)+n^{\text{up}}(z,w)-n^{\text{down}}(z,w)+\text{SRD}(w,v)$
		$\displaystyle=n^{\text{up}}(u,w)-n^{\text{down}}(u,w)+\text{SRD}(w,v)$
		$\displaystyle=\text{SRD}(u,w)+\text{SRD}(w,v)\enskip.$

Заметим, что предпоследнее равенство следует из того факта, что $z$ находится на кратчайшем пути от $u$ до $w$ . Наша индукция завершена и завершает наше доказательство. ∎

5.3 Частота коммуникации

На рисунке S5 показана частота коммуникации между парами сотрудников в зависимости от расстояния в иерархии подчинения. Как и на рисунке 5, в среднем, чем ближе два сотрудника находятся в организационном дереве, тем чаще они общаются..

⟦Fig S5: Попарные расстояния подчинения в организационном дереве и частота коммуникации между всеми парами на данном расстоянии подчинения. Расстояния подчинения вычисляются внутри каждой команды, а ящичковые диаграммы обобщают результаты по всем командам.

5.4 Анализ путей взаимодействия в команде

На рисунке 5 мы представили среднее количество электронных писем, которыми обмениваются команды, в виде диаграмм размаха. На рисунке S6 мы приводим тот же график, детализированный по отдельным командам..

⟦Fig S6: Графики, показывающие попарные расстояния отчетности в организационном дереве команды и среднее количество электронных писем, которыми обмениваются все пары на данном расстоянии отчетности. Линии окрашены по командам, как на рисунке 1⟧.

5.5 Перестановочные тесты

Мы провели два теста перестановок, чтобы проверить, являются ли правый и центральный графики на рисунке 5 симметричными относительно нуля. Напомним, что нашей тестовой статистикой является

t(A)=\sum_{k=1}^{k_{\max}}\Big(\frac{1}{|S_{k}|}\sum_{(u,v)\in S_{k}}A_{uv}-\frac{1}{|S_{-k}|}\sum_{(u,v)\in S_{-k}}A_{uv}\Big)^{2}\enskip,

где $S_{k}=\{(u,v):\text{DRD}(u,v)=k\}$ и $k_{\max}=\max_{u,v}\text{DRD}(u,v)$ . На Рисунке S7 мы показываем наши нулевые распределения, которые мы получили путем случайной перестановки количества писем, обмененных между парами, чьи расстояния подчинения одинаковы. Нулевые распределения агрегируются по $500$ различным перестановкам в каждой команде, за исключением 4 команд, которые имели $>10,000$ участников, чьи перестановки были слишком дорогими с точки зрения вычислений. Эмпирические тестовые статистики задаются красными линиями.

⟦Fig S7: Нулевые распределения из тестов перестановки на симметрию, описанных в Разделе 4.2. (Слева) Направленное расстояние подотчетности. (Справа) Знаковое расстояние подотчетности. На обоих графиках красная линия представляет собой наблюдаемую тестовую статистику.

6 Древовидные расстояния

Пусть $T$ будет ориентированным корневым деревом, как в организационном дереве основного текста. Таким образом, $T_{uv}=1$ , если $u$ подчиняется $v$ , и 0 в противном случае. Пусть $\hat{T}$ будет оценкой $T$ . Наконец, пусть $c_{u}$ и $\hat{c}_{u}$ будут центральностью по посредничеству для узла $u$ в $T$ и $\hat{T}$ соответственно..

Мы используем следующие два расстояния для измерения того, насколько хорошо $\hat{T}$ оценивает $T$ :

	$\displaystyle d_{\text{F}}\big(T,\hat{T}\big)$	$\displaystyle=\frac{1}{n-1}\sqrt{\sum_{u=1}^{n}\sum_{v=1}^{n}(T_{uv}-\hat{T}_{uv})^{2}}$		(Frobenius)
	$\displaystyle d_{\text{cent}}\big(T,\hat{T}\big)$	$\displaystyle=\frac{1}{n-1}\sqrt{\sum_{u=1}^{n}(c_{u}-\hat{c}_{v})^{2}}$		(Donnat and Holmes (2018, Eq 4.2))

Первая мера оценивает количество совпадающих ребер между оцененным деревом $\hat{T}$ и истинным деревом $T$ . Вторая мера оценивает соответствие показателей центральности для узлов в каждом графе, причем «изменение центральности можно понимать как смещение узла от ядра сети (или к нему)» (Donnat and Holmes, 2018)⟧.

Заметьте, что обе эти дистанции также могут быть в общем виде применены для измерения сходства двух произвольных графов.

7 Реконструкция дерева

Абсолютная эффективность методов реконструкции в разделе 5 представлена на рисунке S8.

⟦Fig S8: Абсолютная эффективность методов реконструкции организационных деревьев на основе коммуникационных сетей: Min и Max ST (Prim, 1957), Distance (Maiya and Berger-Wolf, 2009) и Agony (Gupte et al., 2011).

На рисунке S9 показана среднеквадратичная ошибка (MSE) предсказанного уровня по отношению к истинному уровню как функция от истинного уровня. То есть мы строим график уровня $k$ относительно

\frac{1}{|u:z(u)\leq k|}\sum_{u:z(u)\leq k}\big(z(u)-\hat{z}(u)\big)^{2}

где $z(u)$ — это уровень узла $u$ . Мы отмечаем, что хотя Min ST и Max ST создают дерево, оно не имеет корневого узла. Поэтому мы определяем $\hat{z}(u)$ как расстояние в оцененном дереве от истинного корня. Мы также не включаем Agony и Distance, поскольку ни один из методов не строит дерево. Мы видим, что Min ST и Max ST оба лучше справляются с восстановлением верхушки иерархии, чем ее нижних уровней.

⟦Fig S9: Среднеквадратичная ошибка (MSE) предсказанного уровня по сравнению с истинным уровнем в зависимости от уровня.

Дополнительные материалы: Динамика коммуникационных сетей в крупной организационной иерархии