Оценка причинно-следственных эффектов, значимых для политики, при наличии интерференции с применением к налогу на напитки в Филадельфии

Предположим, у нас есть совокупность единиц, $i=1,\dots,n$, наблюдаемых в периоды до и после воздействия, $t=0,1$. Для простоты мы сначала представим методологию в условиях одного наблюдения на период воздействия, то есть одной временной точки до и после введения налога, и, таким образом, единственное релевантное временное измерение охватывает различные периоды воздействия, которые мы называем $t$-временем. Затем мы расширим этот метод до условий с множественными наблюдениями на период воздействия в разделе 3.5.

Для каждой единицы наблюдения мы фиксируем вектор базовых ковариат $\mathbf{X}_{i}$ и бинарный индикатор группы воздействия $A_{i}$. Далее, пусть $Z_{it}=tA_{i}$ представляет статус воздействия для единицы $i$ в периоде $t$. Мы обозначаем векторы воздействия и статуса воздействия для всей совокупности как $\mathbf{A}$ и $\mathbf{Z_{t}}$. Наконец, мы обозначаем результат в каждом периоде для каждой единицы как $Y_{it}$.

Каждая единица имеет потенциальный результат в каждом периоде воздействия при каждом распределении воздействия в популяции, $Y_{it}^{(\mathbf{Z_{t}})}$, что приводит к $2^{n}$ потенциальным результатам на единицу в период. Это число обычно сокращается до $2$ путем применения SUTVA, которое требует, чтобы потенциальный результат конкретной единицы не зависел от статуса воздействия других единиц, то есть $Y_{it}^{(\mathbf{Z_{t}})}=Y_{it}^{(Z_{it})}$. Однако наличие трансграничных покупок нарушает это допущение в наших условиях, поскольку магазины, по-видимому, имели бы разные объемы продаж в зависимости от налоговой политики соседних магазинов..

Чтобы решить эту проблему, Aronow and Samii (2017) ввели модифицированное SUTVA, которое сокращает количество потенциальных исходов, при этом учитывая наличие интерференции. Их концепция предполагает, что статус воздействия на популяцию может влиять на потенциальный исход единицы $i$ в момент времени $t$ только через собственный статус воздействия единицы в $t$, $Z_{it}$ и некоторую известную скалярную функцию $h_{it}:\{0,1\}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$. Эта функция, называемая отображением экспозиции, представляет уровень воздействия, полученный единицей не напрямую через собственный статус воздействия. Обозначив $g_{it}(\mathbf{Z_{t}})=(Z_{it},h_{it}(\mathbf{Z_{t}}))^{T}$ как статус экспозиции единицы $i$ в момент времени $t$ и используя это модифицированное SUTVA, мы можем записать потенциальные исходы для любого возможного вектора назначения воздействия $\mathbf{z_{t}}$ как:

$$Y_{it}^{(\mathbf{z_{t}})}=Y_{it}^{(g_{it}(\mathbf{z_{t}}))}$$

(A1)

В нашем исследовании мы предполагаем, что продажи магазина $i$ в момент времени $t$ зависят от налоговой политики только через собственный налоговый статус магазина и наличие поблизости магазина с иным налоговым статусом. В частности, мы предполагаем, что (A1) выполняется при:

$$h_{it}(\mathbf{Z_{t}})=\begin{cases}1&\text{if }Z_{it}=0\text{ and adjacent to any taxed region}\\ 0&\text{if }Z_{it}=0\text{ and not adjacent to any taxed region}\\ 0&\text{if }Z_{it}=1\text{ and adjacent to any untaxed region}\\ 1&\text{if }Z_{it}=1\text{ and not adjacent to any untaxed region}\\ \end{cases}$$

(2)

Данное отображение воздействия сокращает количество потенциальных исходов для каждого магазина с $2^{n}$ до $4$, при этом позволяя продажам подслащенных напитков в конкретном магазине зависеть от трансграничных покупок в соседние регионы или из них. В постналоговый период нашего исследования мы наблюдаем контрольный статус воздействия, $g_{i1}(\mathbf{Z_{1}})=(0,0)$, для Балтимора и других магазинов округа штата Пенсильвания, не граничащих с Филадельфией (не приграничные); статус воздействия для экспериментальной группы, $g_{i1}(\mathbf{Z_{1}})=(1,0)$, для магазинов Филадельфии; и статус воздействия для соседней контрольной группы, $g_{i1}(\mathbf{Z_{1}})=(0,1)$, для других магазинов округа штата Пенсильвания, граничащих с Филадельфией (приграничные).).

Наша цель здесь — определить причинно-следственные оценки, представляющие два вопроса, значимых для политики. Сначала мы задаемся вопросом: какова была бы средняя разница между продажами подслащенных напитков в магазинах Филадельфии в 2017 году при наличии и отсутствии внедренного PBT? Этот вопрос соответствует ATT и может быть определен через потенциальные исходы как:

$$ATT:=E[Y_{1}^{(1,0)}-Y_{1}^{(0,0)}|g(\mathbf{A})=(1,0)]=E[Y_{1}^{(1,0)}-Y_{1}^{(0,0)}|A=1]$$

(3)

где мы опускаем индекс, специфичный для единицы наблюдения, $i$, для удобства и определяем $g_{i}(\mathbf{A})$ аналогично $g_{it}(\mathbf{Z_{t}})$. Второе равенство справедливо в силу того, что ни одна из единиц наблюдения в нашем исследовании не имеет $g_{i}(\mathbf{A})=(1,1)$.

Мы дополнительно задаемся вопросом: какова была бы средняя разница между продажами подслащенных напитков для приграничных магазинов в 2017 году при наличии и при отсутствии внедренного PBT? Этот вопрос соответствует тому, что мы называем средним эффектом воздействия на соседние контрольные группы (ATN), и может быть определен через потенциальные исходы как:

$$ATN:=E[Y_{1}^{(0,1)}-Y_{1}^{(0,0)}|g(\mathbf{A})=(0,1)]$$

(4)

Поскольку мы не наблюдаем потенциальные исходы после налогообложения для единицы $i$ при всех возможных комбинациях $g_{i}(\mathbf{A})$, мы не можем напрямую идентифицировать ATT и ATN без дополнительных допущений. В рамках структуры DiD и предложенного нами отображения воздействия мы требуем выполнения вышеупомянутых допущений о контрфактических параллельных трендах между группами воздействия, подвергшимися и не подвергшимися вмешательству, для идентификации (3):

$$E[Y_{1}^{(0,0)}-Y_{0}^{(0,0)}|A_{i}=1,\mathbf{X}]=E[Y_{1}^{(0,0)}-Y_{0}^{(0,0)}|g(\mathbf{A})=(0,0),\mathbf{X}]$$

(A2)

а также между соседними контрольными группами и группами воздействия для идентификации 4):

$$E[Y_{1}^{(0,0)}-Y_{0}^{(0,0)}|g(\mathbf{A})=(0,1),\mathbf{X}]=E[Y_{1}^{(0,0)}-Y_{0}^{(0,0)}|g(\mathbf{A})=(0,0),\mathbf{X}]$$

(A3)

при этом, опираясь на допущения, обусловленные наблюдаемыми ковариатами, мы учитываем наблюдаемые факторы смещения, часто присутствующие в квазиэкспериментальных условиях. В нашем исследовании допущения о контрфактических параллельных трендах были бы нарушены, если бы, например, (i) более обеспеченные слои населения с меньшей вероятностью потребляли подслащенные напитки в период после введения налога, чем в период до его введения, независимо от налогового статуса, (ii) распределение благосостояния варьировалось бы по регионам, и (iii) было бы верно хотя бы одно из следующих утверждений: (a) мы не наблюдаем этот показатель благосостояния или (b) распределение благосостояния меняется между налоговыми периодами. В противном случае допущения по-прежнему оставались бы в силе.

В дополнение к A1, A2 и A3 мы также требуем выполнения допущений о согласованности и позитивности, которые соответственно гласят, что наблюдаемый результат равен потенциальному результату при наблюдаемом статусе воздействия и что все единицы исследования имеют ненулевую вероятность назначения на каждое из воздействий при заданных наблюдаемых ковариатах.

Здесь мы расширяем существующие doubly robust оценщики для ATT в условиях SUTVA, чтобы оценить как ATT, так и ATN в рамках нашей модифицированной SUTVA с отображением бинарного воздействия, $h_{it}$. Для этого мы обозначаем $R_{i}$ как бинарный индикатор, представляющий отнесение к группе интересующего воздействия для конкретной целевой оценки, а $Z^{r}_{it}=tR_{i}$ — как индикатор, представляющий статус этого соответствующего воздействия в момент времени $t$. В частности, $R_{i}=1$ относится к группе лечения в сравнении ATT и соседней контрольной группе в сравнении ATN, тогда как $R_{i}=0$ относится к контрольной группе в обоих случаях. Мы сосредоточены на методах для продольных панельных данных, что соответствует нашему примеру данных. Тем не менее, эти методы могут быть легко адаптированы к условиям, когда данные до и после налогообложения собираются по разным популяциям, то есть к кросс-секционным данным (Sant’Anna and Zhao (2020)).

До сих пор мы представляли методы для данных с одним наблюдением на период воздействия. Однако, как отмечалось ранее, наше исследование включает 13 различных временных точек как в периоды до, так и после введения налога. В этом разделе мы представляем простой, но надежный подход для распространения этих методов на случай множественных временных точек. Предлагаемый подход оказывается частным случаем общего подхода, предложенного Callaway and Sant’Anna (2021), когда отсутствует вариация во времени начала воздействия..

Пусть $m=1,...,n_{m}$ индексирует моменты времени в период после введения налога. Тогда мы будем называть временное измерение в рамках периода воздействия $m$-временем. Обозначая наблюдения, специфичные для $m$-времени, путем добавления подстрочного индекса $m$ к нашему предыдущему обозначению, мы можем определить специфичные для $m$-времени эффекты как:

$$ATT(m):=E[Y^{(1,0)}_{1,m}-Y^{(0,0)}_{1,m}|A=1]\text{, }\hskip 8.53581ptATN(m):=E[Y^{(0,1)}_{1,m}-Y^{(0,0)}_{1,m}|g(\mathbf{A})=(0,1)]$$

(12)

Затем мы можем усреднить эти $m$-специфичные для времени эффекты, чтобы обобщить общий эффект:

$$ATT=\frac{1}{n_{m}}\sum\limits_{m=1}^{n_{m}}ATT(m),\text{ }ATN=\frac{1}{n_{m}}\sum\limits_{m=1}^{n_{m}}ATN(m)$$

(13)

В нашем исследовании наблюдения проводятся с интервалом в 4 недели и приходятся на одно и то же календарное время в периоды до (2016) и после (2017) введения налога. Таким образом, мы рассматриваем данные для каждой из этих $n_{m}$ пар как сравнение двух периодов воздействия с одним наблюдением на период, и поэтому требуем выполнения условий контрфактических параллельных трендов в каждый момент $m$ для идентификации (12) и, следовательно, (13) в качестве причинно-следственных эффектов. Наконец, мы определяем наши мешающие функции для каждого момента $m$ как $\mu_{\Delta,m}=E[Y_{1,m}-Y_{0,m}|g(\mathbf{A})=(0,0),\mathbf{X}]$ и $\pi_{r,m}=P(R_{m}=1|\mathbf{X})$.

Мы начали с группировки магазинов по регионам (Филадельфия, Балтимор, приграничные, не приграничные) и типу (SGM, аптеки). Мы проанализировали SGM и аптеки отдельно из-за ожидаемых различий в динамике продаж, которые может быть трудно адекватно моделировать (Roberto et al. (2019)). Ковариаты до начала воздействия для нашего исследования обобщены в таблице 1. Примечательно, что ковариаты на региональном уровне схожи между Филадельфией и Балтимором, а также между приграничными и не приграничными регионами, но не между Филадельфией и не приграничными или приграничными и Балтиморскими регионами. Поэтому мы использовали магазины Балтимора в качестве контрольной группы для магазинов Филадельфии при сравнении ATT, а не приграничные магазины — в качестве контрольной группы для приграничных магазинов при сравнении ATN..

Регионы, затронутые PBT напрямую или через эффекты перетекания, демонстрируют явное нарушение объемов продаж подслащенных напитков в период между годом до и после внедрения налога по сравнению с нашими контрольными регионами, как показано на Рисунке 1. Продажи в супермаркет бакалейных магазинах и аптеках Филадельфии снизились соответственно на $54.90\%$ и $21.57\%$ в период с 2016 по 2017 год, в то время как в соседних супермаркет бакалейных магазинах и аптеках они увеличились на $44.75\%$ и $21.60\%$. Это резко контрастирует с относительно постоянными продажами напитков в супермаркет бакалейных магазинах в Балтиморе (снижение на $0.96\%$) и в магазинах вне приграничной зоны (снижение на $0.86\%$), а также с небольшим снижением продаж напитков в аптеках ($10.01\%$ в Балтиморе, $11.74\%$ вне приграничной зоны)).

Мы оценили ATT и ATN, используя как стандартный подход TWFE, требующий стандартных безусловных контрфактических параллельных трендов, так и наш предлагаемый подход DR, требующий условных контрфактических параллельных трендов. Для оценки ATT и ATN с использованием подхода TWFE мы оценили специфичные для времени эффекты воздействия с помощью линейной модели в (7) для каждого $m=1,...,13$. Для оценки ATT и ATN с помощью наших предлагаемых методов doubly robust мы подобрали отдельную модель линейной регрессии для каждого $\mu_{\Delta,m}$ и модель логистической регрессии для каждого $\pi_{r,m}$ с членами для наших наблюдаемых ковариат (Stuart et al. (2014)).

Для оценки $95\%$ доверительных интервалов для наших оценок эффекта мы реализовали стратифицированный непараметрический подход бутстрэп-выборки (Efron and Tibshirani (1993)). Для каждого из четырех регионов мы выполнили повторную выборку с возвращением из эмпирического распределения региональной подвыборки, при которой повторно выбирается весь вектор наблюдаемых данных магазина. Стратификация по регионам ограничивает экстремальные выборки бутстрэпа, в которых некоторые регионы могут иметь лишь несколько репрезентативных элементов, что имеет место в нашем исследовании. Затем мы оценили $2.5$ и $97.5$ процентили среди 500 реплик бутстрэпа в качестве границ нашего интервала. Краткое обсуждение и сравнение возможных подходов к доверительным интервалам представлены в Приложении D.

Чтобы укрепить достоверность Допущения (A1) в рамках (2), мы исключили магазины, не находящиеся на границе, в почтовых индексах Пенсильвании в радиусе 6 миль от границы Филадельфии (138 магазинов). Мы приняли это решение после оценки небольшого, но отличного от нуля ATN для этих магазинов с использованием нашей методологии DR в ходе предварительного анализа (Таблица 4), что позволяет предположить, что эта группа может содержать смесь магазинов с контрольным и соседним контрольным воздействиями. Допущение (A1) также подразумевает, что воздействие не оказывает причинного эффекта до его реализации, что часто формализуется как допущение об отсутствии антиципации, которое было бы нарушено в нашем исследовании, если бы жители Филадельфии делали запасы подслащенных напитков в месяцы, предшествовавшие налогу. Для оценки этого допущения мы использовали нашу методологию DR для оценки ATT для SGM и аптек между первым моментом наблюдения до введения налога и моментом наблюдения до введения налога $m^{\text{th}}$, $ATT^{(pre)}(m):=E[Y^{(1,0)}_{0,m}-Y^{(0,0)}_{0,1}|A=1]$, для $m=12,13$ (Таблица 5). Наши $95\%$ доверительные интервалы включали нулевой эффект, за исключением $ATT^{(pre)}(12)$ аптек, который был статистически значимым, но отрицательным, что скорее позволяет предположить, что потребители осуществляли опережающие трансграничные покупки, а не делали запасы.

Исследователи часто используют тесты на параллельные тренды до начала воздействия для оценки правдоподобности допущения о контрфактических параллельных трендах в исследованиях методом "разность разностей" (Bilinski and Hatfield (2018)). В нашей постановке задачи эти тесты могут быть проведены робастным образом для оценки Допущений (A2) и (A3) с использованием предложенной нами методологии для оценки $ATT^{(pre)}(m)$ и аналогичного $ATN^{(pre)}(m)$ для $m=2,\dots,13$. Если тренды исхода до начала воздействия являются параллельными между группами воздействия, эти эффекты будут равны нулю. Как отмечают Bilinski and Hatfield (2018), практики должны с осторожностью проводить эти тесты при нулевой гипотезе о параллельных трендах, поскольку это поощряет высоконеопределенные тесты, которые не могут исключить крупные нарушения параллельных трендов. Поэтому мы приводим $95\%$ доверительные интервалы таких тестов в качестве свидетельства для отклонения нарушений параллельных трендов за пределами оцененных границ. Эти интервалы, приведенные в Таблице 5, в значительной степени включают $0$. Наглядный пример того, как условные параллельные пре-тренды могут быть более правдоподобными, чем безусловный аналог, приведен на Рисунке 2. Тем не менее, эти тесты являются ограниченным прокси-показателем для требуемых контрфактических параллельных трендов и опираются на предположение, что параллельные тренды в периоде до начала воздействия могут быть экстраполированы на контрфактические тренды между налоговыми периодами.

Оценки ATT и ATN для продаж подслащенных напитков в SGM и аптеках, агрегированные по сезонам и годам, приведены в Таблице 2. В год после введения налога в Филадельфии наблюдается среднее сокращение продаж в SGM на 2,26 млн унций (95% ДИ: (1,54; 2,95)) за 4-недельный период и прирост на 1,20 млн унций (95% ДИ: (0,79; 1,70)) в соседних магазинах. В аптеках наблюдается среднее сокращение продаж на 22,9 тыс. унций (95% ДИ: (11,2; 32,5)) в Филадельфии за 4-недельный период и прирост на 38,3 тыс. унций (95% ДИ: (23,6; 56,9)) в соседних магазинах..

Интересно, что величина ATN больше, чем ATT для аптек. Поскольку наш анализ проводится на уровне магазинов, нам необходимо учитывать общее количество магазинов в каждом регионе, чтобы оценить относительные величины на региональном уровне. Кроме того, некоторые потребители в Филадельфии могут отреагировать на PBT, переключив свои покупки подслащенных напитков с SGM в Филадельфии на аптеки в приграничных округах..

Наши результаты показывают значительную гетерогенность эффектов между сезонами как для ATT, так и для ATN, причем эффекты наиболее выражены в теплое время года. Эффекты ATT наиболее сильны летом для SGM и аптек, с оценочным снижением на 2,47 миллиона унций (95% ДИ: (1,64, 3,29)) и 34,8 тысячи унций (95% ДИ: (20,8, 46,1)) соответственно из-за налога. Эффекты ATN наиболее сильны для SGM летом (увеличение на 1,35 миллиона унций, 95% ДИ: (0,86, 1,90)), но наибольшие эффекты для аптек оцениваются осенью (увеличение на 42,0 тысячи унций, 95% ДИ: (26,3, 60,9)). В связи с этим, эффекты ATT наиболее слабы зимой со снижением на 1,93 миллиона унций для SGM (95% ДИ: (1,37, 2,52)) и 12,7 тысячи унций для аптек (95% ДИ: (0,7, 23,5)). Это справедливо и для ATN в отношении SGM (увеличение на 0,90 миллиона унций, 95% ДИ: (0,57, 1,27)) и аптек (увеличение на 35,4 тысячи унций, 95% ДИ: (20,5, 53,2)). Такая гетерогенность соответствует нашим ожиданиям, поскольку более высокие температуры и общий рост продаж подслащенных напитков в теплые месяцы могут дополнительно стимулировать потребителей совершать поездки, чтобы избежать PBT. Однако ослабление налоговых эффектов зимой также может указывать на постепенную реакцию потребителей на PBT..

Оценки DR тесно коррелируют с оценками, полученными с использованием стандартной методологии TWFE для SGM. Это может указывать на некоторую правдоподобность допущения о безусловных параллельных трендах между группами воздействия для этих магазинов, но также отражает тот факт, что наши доступные ковариаты были недостаточно информативны для прогнозирования результата для данной группы магазинов. Для аптек методы DR дают оценки эффекта большей величины, чем их аналоги TWFE, что может свидетельствовать о том, что смешивающие факторы маскируют часть налогового эффекта в стандартных анализах. Например, наши модели результатов для $\mu_{\Delta,m}$ связывают более низкий процент белых жителей с более значительным снижением продаж напитков в аптеках Балтимора в период с 2016 по 2017 год. Поскольку аптеки Филадельфии находятся в почтовых индексах с более высоким процентом белых жителей, мы бы недооценили контрфактические продажи подслащенных напитков после введения налога в магазинах Филадельфии, не выполнив надлежащую корректировку по расовому признаку. Примечательно, что за счет учета смешивающих факторов доверительные интервалы DR для зимнего ATT в аптеках не включают ноль, в отличие от доверительных интервалов TWFE..

Хотя эффекты на уровне популяции полезны, стратегии могут оказывать различное воздействие на субпопуляции внутри каждого региона. Понимание того, на кого стратегии влияют сильнее всего, особенно полезно для лиц, принимающих решения, при определении необходимости продолжения стратегий, способов устранения неравенства, вызванного стратегиями, и методов реализации стратегий в регионах с различным составом населения..

Чтобы помочь понять, как эффекты политики могут варьироваться в зависимости от географической близости к не облагаемым налогом регионам, мы сначала определили подгруппы почтовых индексов Филадельфии в соответствии с их приграничным статусом — граничащие с Пенсильванией, граничащие с Нью-Джерси и не граничащие, которые визуализированы на Рисунке 3 желтым, фиолетовым и оранжевым цветами соответственно. Затем мы использовали нашу предложенную методологию DR для оценки ежегодного относительного эффекта продаж $ATT_{rs}:=E[Y_{1}^{(1,0)}|g(\mathbf{A})=(1,0)]/E[Y_{1}^{(0,0)}|g(\mathbf{A})=(1,0)]$ для аптек в каждой из этих подгрупп. Коэффициент продаж обеспечивает сопоставимую шкалу для субпопуляций, которые могут различаться по объему продаж подслащенных напитков, более подробное обсуждение представлено в Приложении E. Подгруппы содержали 58, 26 и 56 аптек с оценочными эффектами -33% (95% ДИ: (-39%, -26%)), -10% (-24%, +5%) и -6% (-17%, +6%) соответственно, что позволяет предположить, что аптеки Филадельфии, граничащие с Пенсильванией, испытали большее снижение, чем те, что прилегают только к Нью-Джерси или другим почтовым индексам Филадельфии, для которых обходной путь может быть менее практичным (например, требует оплаты проезда для въезда). Эти результаты дополняют предыдущие исследования, которые обнаружили снижение налоговых эффектов для жителей Филадельфии, проживающих дальше от границы города (Cawley et al. (2019)).

Для дальнейшего понимания влияния географической гетерогенности на эффекты обхода (bypass effects), мы также определили подгруппы почтовых индексов приграничных округов (Border county zip codes) в соответствии с показателями проксимального налогооблагаемого населения и межгодовыми (YtY) различиями в продажах облагаемых налогом напитков среди этих групп населения. В частности, мы взяли общую численность населения и межгодовую разницу для каждого почтового индекса Филадельфии, граничащего с Пенсильванией, и разделили эти показатели на количество почтовых индексов приграничных округов, с которыми они граничат, в качестве прокси-переменных для объема трафика и продаж, «доступных» из облагаемого налогом почтового индекса. Затем для каждого почтового индекса приграничного округа мы суммировали эти показатели по всем прилегающим почтовым индексам Филадельфии в качестве прокси-переменной для объема доступного трафика и продаж из близлежащих облагаемых налогом магазинов. Мы использовали кластеризацию методом K-средних (K-means clustering) для распределения этих почтовых индексов по группам с низким и высоким объемами доступного трафика и продаж. Используя наш предложенный метод, мы оценили существенно более низкие эффекты в почтовых индексах приграничных округов с низким доступным трафиком и продажами из облагаемых налогом магазинов (увеличение на 27%, 95% ДИ: (18%, 36%)), чем в тех, где доступный трафик и продажи из облагаемых налогом магазинов были высокими (увеличение на 56%, 95% ДИ: (30%, 85%)), хотя доверительные интервалы в последней группе довольно широки, что, вероятно, связано с небольшим размером подгруппы (10 аптек) и высокой гетерогенностью наших прокси-показателей внутри этой подгруппы. Хотя эти разведочные анализы демонстрируют потенциальную географическую гетерогенность в эффектах политики, мы не можем различить гетерогенность эффектов, обусловленную географическими факторами, и гетерогенность, вызванную другими динамическими процессами населения, связанными с географией, путем оценки причинно-следственных эффектов (causal effects) для различных подгрупп населения.

Мы провели имитационные исследования, мотивированные исследованием PBT, чтобы оценить эффективность различных оценок в реалистичных сценариях. Для генерации наших выборок мы сначала моделируем $\mathbf{X_{i}^{(orig)}}\sim N(\mathbf{0},\mathbf{I_{4}})$ для каждой единицы $i=1,\dots,n$. Мы принудительно задаем изменение одной из ковариат во времени $m$ путем установки $X^{(orig)}_{i,4,1}=X^{(orig)}_{i,4}$ и моделирования $X^{(orig)}_{i,4,m}\sim N(X^{(orig)}_{i,4,m-1}+0.25,0.25)$ для $m=2,3,\dots,n_{m}$. Затем мы применяем преобразование из Kang and Schafer (2007) к $\mathbf{X^{(orig)}}$, чтобы получить $\mathbf{X^{(obs)}}$:

⟦$X_{i,1}^{(obs)}=(0.6+X_{i,1}^{(orig)}X_{i,3}^{(orig)}/25)^{3}$,     $X_{i,2}^{(obs)}=10+\frac{X_{i,2}^{(orig)}}{1+\exp(X_{i,3}^{(orig)})}$

⟦$X_{i,3}^{(obs)}=\exp(0.5X_{i,3}^{(orig)})$,         $X_{i,4,m}^{(obs)}=(20+X_{i,2}^{(orig)}*X_{i,4,m}^{(orig)})^{2}$

В каждой симуляции наши оценщики используют наблюдаемые ковариаты, $\mathbf{X^{(obs)}}$. Однако набор ковариат, используемый для генерации воздействия, $\mathbf{X^{(a)}}$, и исхода, $\mathbf{X^{(\mu)}}$, варьируется в зависимости от сценария. Единицы наблюдения распределяются между сравнениями ATT и ATN в соотношении 43:57, чтобы имитировать некоторую несбалансированность, наблюдаемую в нашем наборе данных. Воздействие в рамках каждого сравнения затем моделируется в соответствии с биномиальными моделями с $P(g_{i}(\mathbf{A})=(1,0)|\mathbf{X_{i}})=expit(\mathbf{\beta^{(T)}}^{\prime}\mathbf{X_{i}^{(a)}})$ и $P(g_{i}(\mathbf{A}|\mathbf{X_{i}})=(0,1))=expit(\mathbf{\beta^{(N)}}^{\prime}\mathbf{X_{i}^{(a)}})$. Для единиц с $g_{i}(\mathbf{A})=(0,1)$ мы дополнительно моделируем переменную, представляющую расстояние до границы Филадельфии, $D_{i}\sim N(1/(1+exp(X^{(obs)}_{i,2}+X^{(obs)}_{i,3}+X^{(obs)}_{i,4,1})),0.05)$, и ограничиваем ее значениями от 0,1 до 0,9. Эта переменная используется для создания гетерогенности эффекта воздействия в ATN.

Результаты генерируются с помощью линейной модели вида: $Y_{itm}=20+\alpha_{i}+\alpha_{g_{i}(\mathbf{A})}+\gamma_{m}+\gamma_{t}+t\{\mathbf{\lambda_{tm}}^{\prime}\mathbf{X_{i}^{(\mu)}}+\tau_{m}^{(ATT)}\mathbbm{1}(g_{i}(\mathbf{A})=(1,0))+\tau_{m}^{(ATN,*)}\mathbbm{1}(g_{i}(\mathbf{A})=(0,1))(1-D_{i})\}+\epsilon_{itm}$. Здесь $\alpha_{i}$ соответствуют случайным интерсептам для конкретных единиц наблюдения, $\alpha_{g_{i}(\mathbf{A})}\sim N(0,1)$ — фиксированный эффект для группы воздействия, $\gamma_{m}$ и $\gamma_{t}$ — фиксированные эффекты для каждого времени наблюдения и периода лечения, $\mathbbm{1}$ — индикаторная функция, а $\epsilon_{itm}\sim N(0,0.5)$ — независимые и одинаково распределенные члены ошибки. ATT для всего периода исследования определяется как среднее значение указанных параметров $\tau_{m}^{(ATT)}$ по $m=1,\dots,n_{m}$. ATN на уровне популяции варьируется в зависимости от $D_{i}$ и определяется путем усреднения $\tau_{m}^{(ATN)}=\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbbm{1}(g_{i}(\mathbf{A})=(0,1))}\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbbm{1}(g_{i}(\mathbf{A})=(0,1))\tau_{m}^{(ATN,*)}(1-D_{i})$ по $m=1,\dots,n_{m}$. Примечательно, что наш подход допускает наличие гетерогенных конфаундеров ($\mathbf{\lambda_{tm}}$) и эффектов лечения ($\tau_{m}$) во времени $m$, а также гетерогенных эффектов лечения в зависимости от конфаундеров, таких как расстояние в данном контексте. Параметры, использованные для симуляций, можно найти в Приложении F.

Симуляции были сгенерированы в соответствии с тремя различными комбинациями размера выборки ($n$) и количества моментов наблюдения ($n_{m}$) – (1) $n=250,n_{m}=13$, (2) $n=2000,n_{m}=2$ и (3) $n=500,n_{m}=4$. Мы рассматриваем четыре различных сценария в зависимости от набора ковариат, используемых для спецификации моделей воздействия ($\mathbf{X^{(a)}}$) и исхода ($\mathbf{X^{(\mu)}}$) – (a) $\mathbf{X^{(a)}}=\mathbf{X^{(obs)}}$, $\mathbf{X^{(\mu)}}=\mathbf{X^{(obs)}}$, (b) $\mathbf{X^{(a)}}=\mathbf{X^{(orig)}}$, $\mathbf{X^{(\mu)}}=\mathbf{X^{(obs)}}$, (c) $\mathbf{X^{(a)}}=\mathbf{X^{(obs)}}$, $\mathbf{X^{(\mu)}}=\mathbf{X^{(orig)}}$ и (d) $\mathbf{X^{(a)}}=\mathbf{X^{(orig)}}$, $\mathbf{X^{(\mu)}}=\mathbf{X^{(orig)}}$. Таким образом, наша модель исхода корректно специфицирована в (a) и (b), но неверно специфицирована в (c) и (d), в то время как наша модель оценки склонности корректно специфицирована в (a) и (c), но неверно специфицирована в (b) и (d).).

В каждом сценарии мы генерируем 1000 репликаций для оценки эффективности описанных методов TWFE, IPW, OR и DR. Для оценки $\mu_{\Delta,m}$ мы подбираем модель линейной регрессии для разности результатов, $\Delta Y_{im}=Y_{i1m}-Y_{i0m}$, для контрольной группы, используя отдельную модель для $m=1,\dots,n_{m}$. Для оценки $\pi_{r,m}$ мы подбираем единую инвариантную во времени модель логистической регрессии. Доверительные интервалы оцениваются с помощью вышеупомянутого стратифицированного метода бутстрепа..

Результаты моделирования обобщены в таблице 3, а результаты для сценария 3 представлены в таблице 8. Мы оцениваем каждый метод в соответствии со средним смещением и стандартной ошибкой наших точечных оценок, а также покрытием наших доверительных интервалов..

Как для ATT, так и для ATN оценки, полученные с использованием стандартного подхода TWFE, сильно смещены во всех сценариях, поскольку данный метод не учитывает конфаундеры, изменяющиеся во времени. Оценки, полученные с использованием подходов OR и IPW, являются несмещенными в сценариях, где соответствующая модель специфицирована верно, тогда как оценки, полученные с помощью подхода DR, являются несмещенными в сценариях (a)-(c). Все подходы дают смещенные результаты в сценарии (d), когда обе модели специфицированы неверно. Хотя подход IPW кажется относительно несмещенным для ATT в сценарии (b), когда модель оценки склонности специфицирована неверно, мы предостерегаем, что это является следствием конкретного механизма генерации данных, и отмечаем, что такое случайное поведение не ожидается в общем случае, как видно из сравнения ATN. Тем не менее, небольшое смещение подхода DR в сценарии (c) при меньших объемах выборки — это то, что отмечалось в предыдущих работах (Li and Li (2019); Sant’Anna and Zhao (2020)), поскольку подход DR представляется более зависимым от спецификации модели исхода, чем от модели оценки склонности..

Подходы OR и DR приводят к наименьшим стандартным ошибкам, при этом подход OR является несколько более эффективным в данных условиях конечной выборки, но значительно менее устойчивым к неверной спецификации. Более высокая эффективность модели исхода при ее правильной спецификации также была отмечена Li and Li (2019) и Sant’Anna and Zhao (2020). Примечательно, что подход IPW имеет относительно большие стандартные ошибки даже при правильно специфицированной модели, что хорошо задокументировано в литературе как результат нестабильности весов в условиях конечной выборки..

Бутстрэп-подходы для CIs работают хорошо в данных симуляциях, примерно достигая номинальной вероятности покрытия при правильной спецификации моделей. Интервалы слегка завышены в условиях малых выборок (Сценарий 1) и для ATN. Последнее наблюдение может быть результатом немоделированной гетерогенности эффекта воздействия, ведущей к потере эффективности. Тем не менее, при правильной спецификации моделей CIs имеют тенденцию быть консервативными.