Обучение квантовых каналовПрепринт: V.M.

Аннотация

$Id: QuantumChannelLearning.tex,v 1.404 2025/01/03 17:31:18 mal Exp $

Задача оптимального отображения между гильбертовыми пространствами IN и OUT, основанная на серии измерений отображения матрицы плотности $\rho^{(l)}\to\varrho^{(l)}$, $l=1\dots M$, сформулирована как задача оптимизации, максимизирующая общую точность $\mathcal{F}=\sum_{l=1}^{M}\omega^{(l)}F\left(\varrho^{(l)},\sum_{s}B_{s}\rho^{(l)}B^{\dagger}_{s}\right)$ при соблюдении ограничений сохранения вероятности для операторов Крауса $B_{s}$. Для $F(\varrho,\sigma)$ в форме, при которой общая точность может быть представлена как квадратичная форма с супероператором $\mathcal{F}=\sum_{s}\left\langle B_{s}\middle|S\middle|B_{s}\right\rangle$ (либо точно, либо в качестве аппроксимации), разработан итерационный алгоритм. В работе представлены два важных обобщения унитарного обучения: 1. Состояния IN/OUT представлены как матрицы плотности. 2. Само отображение сформулировано как смешанный унитарный квантовый канал $A^{\emph{OUT}}=\sum_{s}|w_{s}|^{2}\mathcal{U}_{s}A^{\emph{IN}}\mathcal{U}_{s}^{\dagger}$ (пока не общий квантовый канал). Это знаменует собой важный прогресс по сравнению с часто изучаемым унитарным отображением чистых состояний $\phi_{l}=\mathcal{U}\psi_{l}$ в квантовый канал, что позволяет нам различать вероятностную смесь состояний и их суперпозицию. Применение данного подхода продемонстрировано на унитарном обучении отображения матрицы плотности $\varrho^{(l)}=\mathcal{U}\rho^{(l)}\mathcal{U}^{\dagger}$, в этом случае квадратичная по $\mathcal{U}$ точность может быть построена путем рассмотрения $\sqrt{\rho^{(l)}}\to\sqrt{\varrho^{(l)}}$ отображения, а также на квантовом канале, где квадратичная по $B_{s}$ точность является аппроксимацией — квантовый канал затем получается как иерархия унитарных отображений, смешанный унитарный канал. Данный подход может быть применен к изучению квантовых обратных задач, вариационных квантовых алгоритмов, квантовой томографии и многого другого. Программный продукт, реализующий алгоритм is available от авторов.

DOI: 10.1103/PhysRevE.111.015302

Посвящается памяти Ивана Анатольевича Комарчева

I Введение

Форма представления знаний выделяется как важнейшая и отличительная черта в любом подходе к Machine Learning (ML). Использование унитарных операторов для представления знаний в последнее время привлекает все больше вниманияBisio et al. 2010; Arjovsky et al. 2016; Hyland and Rätsch 2017. В природе большинство динамических уравнений эквивалентны последовательности бесконечно малых унитарных преобразований: уравнения Ньютона, Максвелла, Шрёдингера. Эта внутренняя связь с унитарными преобразованиями делает представление знаний в такой форме особенно привлекательным. Большинство существующих работ рассматривают алгоритмы, которые принимают волновую функцию в качестве входных данных и конструируют унитарный оператор, обеспечивающий высокое значение fidelity отображенияArjovsky et al. 2016; Hyland and Rätsch 2017; Lloyd and Maity 2019; они в основном различаются параметризацией унитарного оператора Raza 2020 и деталями оптимизации. Такое отображение чистого состояния в чистое состояние является ограниченной формой квантовой эволюции. Существует несколько работPai et al. 2019; Huang et al. 2021; González et al. 2022; Yu et al. 2023, которые рассматривают унитарное обучение с матрицей плотности на входе. Вероятность реальных систем должна описываться смешанным состоянием (матрицей плотности), что позволяет различить вероятностную смесь состояний и их суперпозицию. Существует два источника смешанных состояний: 1. Сами входные данные могут находиться в смешанном состоянии. 2. $\emph{IN}\to\emph{OUT}$ отображение общего квантового канала может преобразовывать входное чистое состояние в выходное смешанное состояние. Унитарное отображение является простым примером квантового канала, преобразующего чистое состояние в чистое состояние.

В наших предыдущих работах Malyshkin 2022; Belov and Malyshkin 2024 обратная задача квантовой механики об оптимальном унитарном отображении чистых состояний была сведена к задаче QCQP (квадратично-ограниченная квадратичная программа), была сформулирована новая алгебраическая задача (43), и был разработан эффективный итерационный алгоритм глобальной оптимизации. Этот алгоритм может быть применен к квантовым обратным задачам, вариационным квантовым алгоритмам Cerezo et al. 2021; Park and Killoran 2024; Wang et al. 2024 с целевой функцией в виде $C(\theta)=\mathrm{Tr}\,O\mathcal{U}(\theta)\rho_{0}\mathcal{U}^{\dagger}(\theta)$, квантовой томографии D’Ariano et al. 2003; Lvovsky and Raymer 2009; Torlai et al. 2023; Ahmed et al. 2023, различным классическим задачам и многим другим. У нас нет формального доказательства сходимости разработанного алгоритма, но среди миллионов тестовых запусков лишь немногие не сошлись к глобальному максимуму. Это, возможно, вызвано численной неустойчивостью. В текущей работе мы обобщаем наш алгоритм на смешанные состояния и далее расширяем его на квантовые каналы. Это обобщение возможно до тех пор, пока общая точность может быть представлена как квадратичная форма на операторах отображения квантовых каналов.

В случае унитарного отображения ($D=n$, $N_{s}=1$) смешанных состояний существует несколько удачных вариантов выбора точности воспроизведения, например, квантовый канал, отображающий квадратный корень матрицы плотности $\sqrt{\rho}\to\sqrt{\varrho}$ с помощью унитарного оператора (3), обеспечивает точную точность воспроизведения в виде квадратичной формы. Вместе с доступным итерационным алгоритмом эта задача может считаться в основном решенной.

В случае общего квантового канала 4 построение точности как квадратичной формы из уравнения 16 для операторов отображения квантового канала может быть затруднительным. Мы разработали несколько аппроксимаций, которые можно использовать с итерационным алгоритмом, и построили иерархию операторов отображения 52 как смешанного унитарного канала. Демонстрация нескольких аппроксимаций представлена в разделе IV.1. Задача поиска хорошей квадратичной (относительно операторов отображения) точности для квантовых каналов с рангом Крауса $N_{s}>1$ требует дополнительных исследований и связана с физическим смыслом отображения квантового канала. Даже когда точность выражена как квадратичная форма уравнения 16, в настоящее время у нас есть только численный алгоритм для аппроксимации данных с использованием смешанного унитарного канала. Общая реконструкция квантовых каналов пока недоступна.

Статья организована следующим образом. После постановки задачи в разделе III рассматривается унитарное отображение смешанных состояний. Раздел IV посвящен построению иерархии унитарных операторов. В заключении мы обсуждаем результаты, полученные для задачи реконструкции квантового канала. В приложении A приведено подробное описание численного решения, использующего алгебраические методы. В приложении B представлена обобщенная новая алгебраическая задача (43) для нестационарного случая и введено зависящее от времени уравнение типа Шрёдингера для динамики унитарных операторов (87). В приложении C исследуются потенциальные обобщения для состояний с памятью, а в приложении D оценивается вычислительная сложность алгоритма..

К данной статье прилагается программное обеспечение, которое is available из ссылки Malyshkin 2014; все ссылки на код в статье соответствуют данному программному обеспечению.

II Постановка задачи

В Belov and Malyshkin 2024 мы рассматривали данные отображения чистого состояния из вектора в вектор, $l=1\dots M$,

$$\psi_{l}(\mathbf{x}) \to\phi_{l}(\mathbf{f}) \omega^{(l)}$$ weight (1)

Веса $\omega^{(l)}$ обычно все равны 1.11 1 Некоторые авторы используют $\omega^{(l)}=1/M$ для нормализации точности (fidelity) к диапазону $[0:1]$. Однако этот подход неудобен, поскольку $\mathcal{F}$ больше не является extensive quantity в том смысле, что для двух наборов наблюдений общая точность больше не является суммой двух — теряется ее аддитивное свойство. По этой причине нормализация по количеству наблюдений предпочтительнее нормализации по $[0:1]$. Тем не менее, им можно задать различные значения, если наблюдения выполняются с разной точностью, это особенно удобно для классических систем. Полезность весов $\omega^{(l)}$ также проявляется в моделях, которые включают ряд идентичных отображений; в этом случае можно рассматривать только различные отображения и установить $\omega^{(l)}$ равным количеству раз, которое наблюдение встретилось в выборке. Проблема максимизации общей точности

$$\mathcal{F} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}\Big|\Braket{\phi_{l}|\mathcal{U}|\psi_{l}}\Big|^{2}\xrightarrow[\mathcal{U}]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (2)

рассматривалась, и был разработан численный алгоритм нахождения глобального максимума $\mathcal{F}$. Найденное решение $\mathcal{U}$, частично унитарная матрица $\dim(\emph{OUT})\times\dim(\emph{IN})$ ($D\times n$)

$$A^{\emph{OUT}} =\mathcal{U}A^{\emph{IN}}\mathcal{U}^{\dagger}$$ (3)

преобразует любой оператор между двумя гильбертовыми пространствами, например, он преобразует чистое состояние $A^{\emph{IN}}=\Ket{\psi}\Bra{\psi}$ в чистое состояние $A^{\emph{OUT}}=\Ket{\mathcal{U}|\psi}\Bra{\psi|\mathcal{U}^{\dagger}}$. Для $D=n$ это отображение, сохраняющее след, а для $D<n$ это trace decreasing map квантовый канал. Входные данные (1) представляют собой отображение чистого состояния в чистое состояние. Этот тип отображения не является наиболее общим, он не может описать системы с эффектами типа quantum decoherence. Например, простая Markov chain система преобразует чистое состояние $\Ket{\psi}\Bra{\psi}$ в состояние матрицы плотности, см. Приложение I к Ref. Malyshkin 2019.

В данной работе рассматривается более общее отображение между гильбертовыми пространствами IN $\Ket{\psi}$ (размерность $n$) и OUT $\Ket{\phi}$ (размерность $D$). Kraus’ theorem определяет наиболее общую форму отображения между гильбертовыми пространствамиJamiołkowski 1972; Kraus 1983; Joos et al. 2013:

$$A^{\emph{OUT}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}B_{s}A^{\emph{IN}}B^{\dagger}_{s}$$ (4)

количество слагаемых в сумме $N_{s}$ называется рангом Крауса, см. теорему Чоя Choi 1975 и теорему Радона-Никодима Белавкина для вполне положительных отображений Belavkin and Staszewski 1986. Операторы Крауса $B_{s}$ удовлетворяют ограничениям, при которых единица $A^{\emph{IN}}$ преобразуется в единицу $A^{\emph{OUT}}$. Существуют другие варианты построения квантового канала, в Malyshkin 2022; Belov and Malyshkin 2024 мы рассматривали квантовый канал, который преобразует матрицу Грама в пространстве $\Ket{\psi}$ в матрицу Грама в пространстве $\Ket{\phi}$; при надлежащей регуляризации он может быть сведен к той же форме.

$$\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}B_{s}B_{s}^{\dagger} =\mathds{1}$$ (5)

Мы дополнительно обобщаем операторы Крауса $B_{s}$, рассматривая их как прямоугольные $D\times n$ матрицы, вместо того чтобы ограничиваться отображением гильбертова пространства в само себя. Термин «частично краусовский» используется в том же смысле, что и «частично унитарный» — мы рассматриваем прямоугольные матрицы $D\leq n$, отображающие гильбертовы пространства различных размерностей.22 2 Здесь, вместо обычного ограничения $\sum_{s=0}^{N_{s}-1}B_{s}^{\dagger}B_{s}=\mathds{1}$ (55), мы используем ограничение (5), чтобы полностью задействовать наш численный алгоритм в случае $N_{s}=1$. Ограничение (5) накладывает $D(D+1)/2$ независимых условий, тогда как ограничение (55) накладывает $n(n+1)/2$ независимых условий. Когда $D=n$, оба определения совпадают. Однако для $N_{s}=1$ и $D<n$ ограничение (55) не удовлетворяет условию минимального ранга Крауса (56), но ограничения (5) применимы в численном исследовании отображений с уменьшением следа, когда $N_{s}=1$ и $D<n$. Кроме того, метод вычисления множителей Лагранжа, описанный в Приложении A.4, наряду с ограничениями-помощниками сходимости в Приложении A.5, облегчает включение ограничений квадратичной формы любого типа. Для $D<n$ частично унитарный квантовый канал (3) не сохраняет след матрицы плотности. Для достаточно большого $N_{s}$, как в условии (56), форма Ур. (4) позволяет нам построить квантовый канал, сохраняющий след, например, для реализации операции partial trace.

Выбор операторов Крауса не является единственным. Помимо привычного фазового множителя $\exp(i\varphi)$ ($\pm 1$ для вещественного пространства), существует gauge который регулирует избыточные степени свободы. Наиболее известной является каноническая форма:

$$\mathrm{Tr}B_{s}B^{\dagger}_{t} =0 s\neq t$$ for (6)

Однако могут быть использованы и другие калибровки. См. Приложение A.1 для алгоритма преобразования операторов Крауса к канонической форме.

Еще в Malyshkin 2019; Malyshkin 2022 мы рассматривали вместо (1) данные отображения матрицы плотности в матрицу плотности (7) — просто замените $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ из (19) на (18) или (30). В то время как входные/выходные данные в форме матрицы плотности различают вероятностную смесь состояний и их суперпозицию, преобразование (3) не может отобразить такие данные точно, оно обладает недостаточной выразительной мощностью. Только отображение общего квантового канала (4) обладает достаточной выразительной мощностью для построения обучающих моделей на основе общих данных, например, с эффектом декогеренции, или гораздо более редкими, но очень интересными эффектами формирования чистого состояния из входного смешанного состояния — спонтанной когерентностью, проявляющейся в уменьшении энтропии, синхронизации, когерентных откликах типа $\left(\psi_{A}+\psi_{B}\right)^{2}\gg\psi^{2}_{A}+\psi^{2}_{B}$, и так далее..

Рассмотрим отображение матрицы плотности для $l=1\dots M$ наблюдений

$$\rho^{(l)} \to\varrho^{(l)} \omega^{(l)}$$ weight (7)

$\rho^{(l)}$ представляет собой измеренную эрмитову матрицу плотности $n\times n$ в пространстве $\Ket{\psi}$, в то время как $\varrho^{(l)}$ представляет собой измеренную эрмитову матрицу плотности $D\times D$ в пространстве $\Ket{\phi}$. Оба оператора плотности $\rho$ и $\varrho$ являются эрмитовыми матрицами с положительными собственными значениями и имеют единичный trace (сумму диагональных элементов). Ранее рассмотренные данные (1) соответствовали $\rho^{(l)}=\Ket{\psi_{l}}\Bra{\psi_{l}}$ и $\varrho^{(l)}=\Ket{\phi_{l}}\Bra{\phi_{l}}$. Задача оптимизации принимает вид

$$\mathcal{F} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}F\left(\varrho^{(l)},\sigma^{(l)}\right)\xrightarrow[B]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (8)

где $\sigma=A^{OUT}$ и $\rho=A^{IN}$ — $\sigma$ представляет собой $\rho$, прошедшее через квантовый канал.

Следует отметить, что в то время как для отображения волновых функций (1), в редком случае классической системы с известными фазами волновых функций, иногда применима техника регрессионного типа, для отображения матрицы плотности (7), которое всегда является квадратичным относительно $\mathcal{U}$ (3), никакая регрессия не может быть применена..

Нам необходимо определить общую точность $\mathcal{F}$ преобразования (4), которая представляет собой сумму вкладов от всех наблюдений $M$. Для каждого наблюдения отображения из ВХОДА в ВЫХОД следует определить коэффициент точности $F$ в диапазоне $[0:1]$. Чтобы представленная в данной статье теория была применима, этот коэффициент должен быть квадратичным по отношению к оператору $\mathcal{U}$ (экземпляру $B_{s}$). Для отображения чистого состояния в чистое состояние (1) это квадратичная проекция, fidelity

$$F =\Big|\Braket{\phi|\mathcal{U}|\psi}\Big|^{2}$$ (9)

Для отображения смешанных состояний (7) аналогичное выражение

$$F^{\varrho\sigma}(\varrho,\sigma) =\mathrm{Tr}\,\varrho\sigma$$ (10)

ограничено между $0$ и $\mathrm{Tr}\varrho^{2}\leq 1$, оно имеет значение измеренной вероятности вероятности, которая достигает максимального значения $1$ только в чистых состояниях. Стандартное определение верности между смешанными состояниями $\varrho,\sigma$, Nielsen and Chuang 2010 стр. 409, Wilde 2011 стр. 285,

$$F^{prop}(\varrho,\sigma) =\mathrm{Tr}\sqrt{\varrho^{1/2}\sigma\varrho^{1/2}}=\mathrm{Tr}\sqrt{\varrho}\sqrt{\sigma}$$ (11)

создает вычислительные трудности, поскольку требует извлечения матричного квадратного корня из выражения с суммой $B_{s}$, и оно не является явно квадратичным. Существует вариант использования критерия качества, основанного на условной энтропии состояний $OUT|IN$ Jenčová 2024. В общем случае это требует совместной матрицы плотности $\rho(OUT,IN)$ Levitin 1999. Тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ (18) можно рассматривать как совместную матрицу плотности $\rho(OUT,IN)$, усредненную по наблюдениям $M$ в выборке. Однако в случае, когда $N_{s}>1$, нам не удалось выразить условную энтропию в квадратичной форме относительно $B_{s}$, и мы оставим этот аспект условной энтропии в качестве критерия качества для будущих исследований. В случае $N_{s}=1$ дивергенция Кульбака-Лейблера (уравнение 32) может быть применена напрямую.

Существует примечательная особенность эрмитовых операторов: если векторизовать $D\times D$ эрмитовы операторы $\varrho_{ij}$ и $\sigma_{ij}$, то можно убедиться, что

$$\mathrm{Tr}\varrho\sigma =\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\varrho_{ij}\sigma^{*}_{ij}$$ (12)

т.е. $L^{2}$ вектора, полученного из всех $D^{2}$ матричных элементов $\varrho$, дает след $\varrho^{2}$. Это обеспечивает критерий близости, $F^{c}$, который действует как «корреляция» между матрицами плотности $\varrho_{ij}$ и $\sigma_{ij}$, рассматриваемыми так, как если бы они были векторами..

$$F^{c}(\varrho,\sigma) =\frac{\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\varrho_{ij}\sigma^{*}_{ij}}{\sqrt{\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\left|\varrho_{ij}\right|^{2}\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\left|\sigma_{ij}\right|^{2}}}=\frac{\mathrm{Tr}\varrho\sigma}{\sqrt{\mathrm{Tr}\varrho^{2}\,\mathrm{Tr}\sigma^{2}}}$$ (13)

Это можно рассматривать как $F^{\varrho\sigma}$ (10) с поправкой на вклад для смешанных состояний. Практическая проблема заключается в том, что $\sigma$ в знаменателе зависит от операторов квантового канала $B_{s}$; чтобы получить пригодное для работы выражение, можно заменить нормализованный по $\sigma$ знаменатель на входную матрицу плотности $\rho$

$$F^{v} =\frac{\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\varrho_{ij}\sigma^{*}_{ij}(\rho)}{\sqrt{\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\left|\varrho_{ij}\right|^{2}}\sqrt{\sum\limits_{k,q=0}^{n-1}\left|\rho_{kq}\right|^{2}}}$$ (14)

Здесь объект, обозначенный как $\sigma(\rho)$, получается путем пропускания $\rho$ через квантовый канал с использованием преобразования в (4) или (3). Поскольку $\sigma$ не встречается в знаменателе, уравнение (14) является квадратичным относительно операторов отображения квантового канала. Это выражение использует (12) и рассматривает матрицы плотности так, как если бы они были векторами. Оно линейно относительно $\sigma$ и квадратично относительно $\mathcal{U}$; для унитарного отображения ($D=n$, $N_{s}=1$) мы имеем $\mathrm{Tr}\rho^{2}=\mathrm{Tr}\sigma^{2}$, и, таким образом, $F^{v}$ совпадает с $F^{c}$. Альтернативой является рассмотрение суррогатной близости путем ее нормализации только по $\varrho$ — до степени чистоты выходного состояния.

$$F^{N\varrho^{2}}(\varrho,\sigma) =\frac{\mathrm{Tr}\varrho\sigma}{\mathrm{Tr}\varrho^{2}}$$ (15)

но этот работает плохо, особенно в случае, когда $N_{s}>1$. Заметим, что если $\varrho$ является чистым состоянием $\Ket{\phi}\Bra{\phi}$ и $\rho$ является смешанным состоянием, то (10), (11) и (15) совпадают. В то время как критерии близости $F^{v}$ (14) и $F^{N\varrho^{2}}$ (15) являются квадратичными по операторам квантового канала, их главный недостаток заключается в отсутствии ясного физического смысла. Это может привести к артефактам в полученном решении, особенно для зашумленных данных в случае прохождения матрицы плотности через общий квантовый канал. Критерий $F^{\varrho\sigma}$ (10) является квадратичным по операторам квантового канала, но представляет собой квадрат вероятности, что переоценивает вклад чистых состоянийMalyshkin 2019. В результате он плохо подходит для отображений матриц плотности. Критерии $F^{prop}$ (11) и $F^{c}$ (13) имеют ясный физический смысл, но они не являются квадратичными по операторам квантового канала. Особый интерес представляет критерий $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ (31), рассматриваемый ниже, который является квадратичным по операторам квантового канала и в точности совпадает с $F^{prop}$ в случае унитарного отображения матриц плотности.

Для применимости теории, представленной в данной статье, единственным необходимым свойством точности отображения $F$ в (8) является то, что оно должно представлять собой квадратичную форму на $B_{s}$ с супероператором $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$⟧.

$$\mathcal{F} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\Braket{B_{s}\big.|S\big.|B_{s}}$$ (16)

Тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ зависит от выбора $F$ и весов наблюдений $\omega^{(l)}$. Они специфичны для конкретной задачи и не меняют наших рассуждений. Раскрывая суммы в (16), мы получаем (для простого выбора $F$ (10))

$$\mathcal{F} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}\varrho^{(l)}_{ij}b_{s,ik}\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}b^{*}_{s,jk^{\prime}}$$ (17)

где $b_{s,ik}$ представляют собой $s=0\dots N_{s}-1$ матрицы размерности $D\times n$, соответствующие частично Kraus операторам $B_{s}$. Можно ввести тензор

$$S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}$$ (18)

чтобы получить выражение, аналогичное выражению в Belov and Malyshkin 2024 для векторного отображения гильбертовых пространств $\mathbf{x}\to\mathbf{f}$. С матрицей плотности $\Ket{\mathbf{x}}\Bra{\mathbf{x}}\to\Ket{\mathbf{f}}\Bra{\mathbf{f}}$ (18) принимает привычный вид

$$S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}f^{(l)}_{j}x^{(l)}_{k}f^{(l)\,*}_{j^{\prime}}x^{(l)\,*}_{k^{\prime}}$$ (19)

Отличительными особенностями данной работы являются:

• ⟦ Используя отображение состояний матрицы плотности (7) в качестве входных данных.
• ⟦ Выйдите за рамки унитарного отображения (3), чтобы рассмотреть отображение квантовых каналов (4⟧).

Мы используем их для учета двух видов вероятностей: вероятностной смеси состояний и суперпозиции состояний. Для последней вероятность представляет собой квадрат суммы амплитуд, в то время как для первой вероятность — это сумма квадратов амплитуд. Оба эффекта присутствуют в реальных данных. Существует ряд исследований, указывающих на ограничение унитарной скаляризации Kendall et al. 2018; Sener and Koltun 2018, другие переоценивают недавние исследования Kurin et al. 2022. Следует отметить, как исследователи обычно используют унитарность — они берут вектор, нормализуют его $L^{2}$ норму и рассматривают полученные квадраты евклидовых проекций так, как если бы они были вероятностями. Существующие подходы не различают вероятностную смесь состояний и их суперпозицию. Данная работа пытается преодолеть этот недостаток путем использования входных данных в виде матриц плотности (7) и их отображения с помощью общего квантового канала (4). Рассмотрим несколько демонстраций.

Частично унитарное отображение (3) (когда $N_{s}=1$) является trace decreasing map квантовым каналом для $D<n$. Простой $N_{s}>1$ пример: пусть $D=1$ и мы хотим построить квантовый канал с операторами $B_{s}$, вычисляющий след $A^{IN}$ с помощью (4). Матрицы $b_{s,jk}$ имеют размерность $1\times n$ для всех $s$. Любой ортогональный базис $\Ket{x_{s}}$ в $\Ket{\psi}$ решает эту задачу:

$$B_{s} =\Ket{f_{0}}\Bra{x_{s}}$$ (20)

с $N_{s}=n$, $s=0\dots n-1$. Любой ортогональный базис $\Ket{x_{s}}$ создает решение вида (20), которое удовлетворяет ограничениям канонической формы (25), эта вырожденность может вызывать трудности в численных методах. Другой пример. Квантовый канал, параметризованный двумя ортогональными базисами $\Ket{x_{k}}$, $\Ket{f_{j}}$ и матрицей $\mathcal{M}_{jk}$, создающий $N_{s}=Dn$ операторов ранга один

$$B_{s} =\Ket{f_{j}}\mathcal{M}_{jk}\Bra{x_{k}}$$ (21)

Индекс $s=0\dots Dn-1$ нумерует все пары $(j,k)$. Фактический ранг Крауса меньше или равен $Dn$. Условие сохранения следа (55) накладывает $k=0\dots n-1$ ограничений:

$$1 =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\left|\mathcal{M}_{jk}\right|^{2}$$ (22)

Матрица $\mathcal{M}_{jk}$ определяет квантовый канал. Уравнения (20) и (21) являются двумя примерами квантовых каналов, сохраняющих след, построенных как сумма операторов ранга один $\Ket{f_{j}}\Bra{x_{k}}$. Такие каналы определяются с использованием двух базисов, $\Ket{f_{j}}$, $\Ket{x_{k}}$, вместе с матрицей отображения $\mathcal{M}_{jk}$ между ними. Эти каналы гораздо проще анализировать (и работать с ними численно) по сравнению с суммой общих операторов $B_{s}$. В то же время они обладают достаточно высокой выразительной способностью для отображений типа следа. Однако унитарное отображение не может быть представлено с помощью (21).

Для общей формы квантового канала см. Torlai et al. 2023; Duvenhage 2021 для представления квантового канала с матрицей Чоя канала Choi 1975. Давайте отложим изучение этого представления в стиле Чоя $J(\Phi)=\sum_{kk^{\prime}}\Ket{k}\Bra{k^{\prime}}\otimes\Phi(\Ket{k}\Bra{k^{\prime}})$ представления quantum channel $\Phi$ до будущих исследований и сосредоточимся на исходной задаче.

Математически задача сводится к следующему: оптимизировать 23 при соблюдении ограничений 24 и 25.

$$\mathcal{F} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}b_{s,jk}S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}b^{*}_{s,j^{\prime}k^{\prime}}\xrightarrow[b]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (23)

$$\delta_{jj^{\prime}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}b_{s,jk}b^{*}_{s,j^{\prime}k}\text{\qquad\quad$j,j^{\prime}=0\dots D-1$}$$ (24)

Для исключения вырожденности задачи требуется выбор калибровки, например, использование канонической формы.

$$0 =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}b_{s,jk}b^{*}_{s^{\prime},jk} s\neq s^{\prime},s=0\dots N_{s}-1$$ (25)

Другие калибровки, такие как Cholesky decomposition (по индексу $s$), могут быть использованы вместо них.

Основная особенность разработанного нами численного метода заключается в использовании задачи на собственные значения в качестве базового элемента алгоритма. Если мы рассмотрим подмножество ограничений 24, то задача оптимизации может быть легко решена. Рассмотрим квадрат Frobenius norm от $b_{s,jk}$ как «упрощенное ограничение”:

$$\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left|b_{s,jk}\right|^{2} =D$$ (26)

Это частичное ограничение (оно представляет собой сумму всех диагональных элементов в 24). Для данного частичного ограничения задача оптимизации (23) эквивалентна задаче на собственные значения — она может быть решена напрямую путем рассмотрения вектора размерности $N_{s}Dn$, полученного из оператора $b_{s,jk}$ посредством сохранения всех его компонентов в single vector, построчно. При $s$-независимых $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ каждое собственное значение является вырожденным $N_{s}$ раз; множители Лагранжа $\nu_{ss^{\prime}}$ в (58) могут потенциально устранить это вырождение. Эта частично ограниченная задача является основным строительным блоком нашего численного алгоритма. В то время как большинство существующих алгоритмов обучения используют либо градиентные методы первого порядка, либо ньютоновские методы второго порядка для оптимизации, задача на собственные значения является строительным блоком алгоритма в данной статье.33 3 Мы полагаем, что причинами, по которым градиентные методы первого порядка предпочтительнее ньютоновских методов второго порядка в нейронных сетях, являются: 1. Задача может иметь очень высокую размерность, и методы первого порядка не требуют хранения большой матрицы Гессе. 2. Самая большая проблема в оптимизации обучения — это не локальные максимумы, а седловые точкиArjovsky 2015. Методы первого порядка с меньшей вероятностью застревают в седловой точке. 3. Для некоторых задач градиентные методы первого порядка могут обеспечивать лучшую вычислительную сложность, см. Приложение D ниже. Это представляет собой переход от инструментов математического анализа (например, градиент, производная и т. д.) к использованию алгебраических инструментов (задача на собственные значения). Этот переход позволяет перейти от методов поиска единственного решения к методам поиска множественных решений (собственных векторов). Этот переход от анализа к алгебре делает нахождение глобального максимума гораздо более вероятным, не говоря уже об обеспечении лучшего понимания самой проблемы..

III Унитарное отображение смешанных состояний

В квантовом машинном обучении существует два источника смешанных состояний. Во-первых, исходные входные матрицы плотности (7) могут находиться в смешанном состоянии. Во-вторых, сам квантовый канал посредством преобразования (4) может создавать смешанные состояния. В этом разделе мы рассматриваем первый источник. Пусть данные представляют собой смешанные состояния в соответствии с отображением (7), в то время как сам квантовый канал предполагается унитарным (3) или, возможно, частично унитарным с $D\leq n$. Для применения нашей теории и программного обеспечения нам необходимо получить тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$, с помощью которого можно решить задачу оптимизации (23), теперь с $N_{s}=1$.

$$\mathcal{F} =\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}u_{jk}S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}u^{*}_{j^{\prime}k^{\prime}}\xrightarrow[u]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (27)

$$\delta_{jj^{\prime}} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{jk}u^{*}_{j^{\prime}k}\text{\qquad\quad$j,j^{\prime}=0\dots D-1$}$$ (28)

Если мы возьмем тензор 18 как $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ — то мы недооценили точность воспроизведения, что приводит к необычным эффектам, см. Таблицу 1 строка $F^{\varrho\sigma}$.

Для получения надлежащей оценки близости состояний для входных данных матрицы плотности, рассмотрим отображение квадратных корней матриц плотности.

$$\sqrt{\rho^{(l)}} \to\sqrt{\varrho^{(l)}} \omega^{(l)}$$ weight (29)

и используйте его вместо (7), как если бы это было фактическое отображение матрицы плотности. Для унитарного отображения $\mathcal{U}$ тот же квантовый канал преобразует как матрицу плотности, так и ее квадратный корень. Если $\sqrt{\varrho}=\mathcal{U}\sqrt{\rho}\mathcal{U}^{\dagger}$ то $\varrho=\mathcal{U}\sqrt{\rho}\mathcal{U}^{\dagger}\mathcal{U}\sqrt{\rho}\mathcal{U}^{\dagger}=\mathcal{U}\rho\mathcal{U}^{\dagger}$; см. также упражнение 9.14 из Nielsen and Chuang 2010, стр. 410: для любого положительного оператора $A$, $\sqrt{UAU^{\dagger}}=U\sqrt{A}U^{\dagger}$. Таким образом, мы можем использовать44 4 Заметим, что из свойства инвариантности унитарных операторов, $Uf(A)U^{\dagger}=f(UAU^{\dagger})$, для любого положительного оператора $A$ и $p\geq 0$ мы имеем $\left(UAU^{\dagger}\right)^{p}=UA^{p}U^{\dagger}$. Таким образом, может быть рассмотрена форма $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}=\sum_{l=1}^{M}\omega^{(l)}\left(\varrho^{(l)}\right)^{p}_{jj^{\prime}}\left(\rho^{(l)}\right)^{q}_{kk^{\prime}}$ с $p+q=1$. Однако произвольные $p$ и $q$ не соответствуют точности в уравнении (11), которая имеет $p=q=1/2$, что приводит к уравнению (30). Для произвольного $N_{s}$ любая форма с $q=1$ может быть сведена к задаче оптимизации QCQP. Уравнение (10) соответствует $p=q=1$. Можно рассматривать форму с $q=1$ и некоторым $p$ в качестве квадратичного приближения для точности общего квантового канала.

$$S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}\left(\sqrt{\varrho^{(l)}}\right)_{jj^{\prime}}\left(\sqrt{\rho^{(l)}}\right)_{kk^{\prime}}$$ (30)

в задаче оптимизации если мы применим близость (10) к отображению квадратного корня матрицы плотности (29). Обозначим это как $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$.

$$F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}} =\mathrm{Tr}\sqrt{\varrho}\sigma(\sqrt{\rho})$$ (31)

Здесь сущность, обозначенная как $\sigma(\sqrt{\rho})$, получается путем пропускания $\sqrt{\rho}$ через квантовый канал с использованием преобразования в (4) или (3). В случае (3), где $N_{s}=1$, эта $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ равна надлежащей точности $F^{prop}$ (11). Данный подход не создает трудностей при реализации, так как квадратные корни матриц плотности вычисляются заранее, а затем используются так, как если бы они были фактическими измерениями. $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ из (30) соответствует отображению квадратного корня матрицы плотности в (29). Для чистого состояния $\rho=\Ket{\psi}\Bra{\psi}$ мы имеем $\rho=\sqrt{\rho}$, и (31) дает тот же результат, что и (9⟧).

III.1 Сходство на основе условной энтропии

В случае унитарного отображения матрицы плотности существует возможная альтернатива отображению квадратного корня $\sqrt{\rho}\to\sqrt{\varrho}$ (29) которая была рассмотрена выше. Теперь рассмотрим взаимную информацию между матрицами плотности $\varrho$ и $\sigma$: Kullback-Leibler divergenceVan Erven and Harremos 2014; Galke et al. 2024; Lipka-Bartosik et al. 2024. Для двух заданных матриц плотности $\varrho$ и $\sigma$ условная энтропия равна

$$S(\varrho||\sigma) =\mathrm{Tr}(\varrho\ln\varrho-\varrho\ln\sigma)$$ (32)

Интерпретация дивергенции Кульбака-Лейблера для $\varrho$ относительно $\sigma$ представляет собой ожидаемое избыточное удивление при использовании $\sigma$ в качестве модели вместо $\varrho$, когда фактическое распределение равно $\varrho$. Она удовлетворяет неравенству Гиббса: $S(\varrho||\sigma)\geq 0$, $S(\varrho||\sigma)=0$ тогда и только тогда, когда $\varrho=\sigma$. Для $\sigma$, полученного как унитарное отображение (3) из $\rho$, $\ln\sigma=\ln\left(U\rho U^{\dagger}\right)$ может быть вычислено с использованием invariance property унитарных операторов. Принимая во внимание, что $\mathrm{Tr}(\varrho\ln\varrho)$ является константой, можно рассмотреть отображение

$$\ln\rho^{(l)} \to\varrho^{(l)} \omega^{(l)}$$ weight (33)

и используйте тензор

$$S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}} =\sum\limits_{l=1}^{M}\omega^{(l)}\left(\varrho^{(l)}\right)_{jj^{\prime}}\left(\ln\rho^{(l)}\right)_{kk^{\prime}}$$ (34)

как если бы это было фактическим отображением матрицы плотности. С этим $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ функционал $\mathcal{F}$ больше не имеет значения количества наблюдений, и следует проявлять особую осторожность при регуляризации состояний $\rho$ с собственными значениями, равными нулю, из-за вычислений логарифма, $\varrho$ также должен быть равен нулю в этом состоянии. Ожидается, что эта мера дивергенции информации станет хорошей альтернативой отображению квадратного корня (30), однако это требует дополнительных исследований, особенно в отношении возможности обобщения до квадратичной формы для квантовых каналов с рангом Крауса $N_{s}>1$ и его свойства не удовлетворять неравенству треугольника.

III.2 Демонстрация отображения квадратного корня матрицы плотности

Продемонстрируем преимущества использования квадратного корня из матрицы плотности в обучении квантовых каналов. Здесь и далее нам потребуется некоторое количество случайных входных состояний матрицы плотности $\rho^{(l)}$ (заданного ранга $N_{r}$, все вещественные для простоты), которые мы отображаем с помощью квантового канала вида (3) или (4) в $\varrho^{(l)}$. Состояния создаются из случайных векторов $v^{(l)}_{r,k}$ следующим образом:

$$\rho^{(l)}_{kk^{\prime}} =\frac{1}{\mathrm{Norm}^{(l)}}\sum\limits_{r=0}^{N_{r}-1}v^{(l)}_{r,k}v^{(l)}_{r,k^{\prime}}$$ (35)

Для каждого $l$ мы генерируем $N_{r}$ случайных вещественных векторов $v^{(l)}_{r,k}$ размерности $n$. Матрица плотности получается как $r=0\dots N_{r}-1$ сумма dyadic product вектора $v^{(l)}_{r,k}$ с самим собой, а затем она нормализуется до $1=\sum_{k=0}^{n-1}\rho^{(l)}_{kk}$. Эти $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}$ используются в качестве входных матриц плотности в наших численных экспериментах.

⟦Figure 1: Для известных отображений матрицы плотности ($\mathcal{F}^{prop}=M=1000$) оцените общую точность $\mathcal{F}$ (8) (с различными определениями близости $F$) как функцию от ранга $N_{r}$ входной матрицы плотности и ранга Крауса квантового канала $N_{s}$. Размерность задачи составляет $n=D=20$. (a) Унитарное отображение $N_{s}=1$: $\mathcal{F}^{\varrho\sigma}$ (10) сильно зависит от ранга входных матриц плотности. $\mathcal{F}^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ (соответствующее отображению 29) и $\mathcal{F}^{v}$ (14) дают точный результат $\mathcal{F}=M$ в случае унитарного отображения. (b) Несколько слагаемых $N_{s}>1$: $\mathcal{F}^{\varrho\sigma}$ убывает еще сильнее, в то время как $\mathcal{F}^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ и $\mathcal{F}^{v}$ больше не являются точными.

Демонстрация выполняется следующим образом. Мы генерируем квантовый канал (4) размерности $n=D=20$ с заданным рангом Крауса $N_{s}$. Затем для $N_{r}=1\dots 20$ мы генерируем $M=1000$ входных матриц плотности $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}$ (35) ранга $N_{r}$, и для каждой из них мы получаем выходную матрицу плотности $\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}$, пропуская $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}$ через квантовый канал. На этом отображении $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}\to\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}$ мы оцениваем общую точность $\mathcal{F}$ (8) для различных определений $F$ (с тем же $B_{s}$, определяющим квантовый канал, $\sigma=\sum_{s=0}^{N_{s}-1}B_{s}\rho B^{\dagger}_{s}$). Результат представлен на рис. 1; см. com/polytechnik/algorithms/DemoDMsqrtRhoMappingTest.java для реализации. Для $F^{prop}$ (11) общая точность (8) равна максимальному значению $\mathcal{F}^{prop}=M$, поскольку одни и те же $B_{s}$ использовались как при построении, так и при оценке квантового канала. Однако задача оптимизации QCQP, которую мы можем решить, алгебраическая задача (43), должна быть квадратичной функцией от $\mathcal{U}$. $F^{prop}$ не является такой функцией, что затрудняет её использование. Простое $F^{\varrho\sigma}$ в виде следа матриц плотности (10) является квадратичной функцией, но оно не нормализовано для $N_{r}>1$ или $N_{s}>1$: оно дает точный результат только для входных чистых состояний ($N_{r}=1$) и унитарных ($N_{s}=1$) отображений, см. рис. 1a. Отображение $\sqrt{\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}}\to\sqrt{\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}}$ позволяет нам ввести $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ (31), рассматривая $\sqrt{\varrho}$ и $\sqrt{\rho}$ так, как если бы они были фактически измеренными операторами плотности (29). В унитарном случае $N_{s}=1$ оно дает правильное значение $\mathcal{F}=M$ для любого ранга входной матрицы плотности $\rho$, это важный результат данной работы. В этом случае $N_{s}=1$ для каждого $N_{r}$ мы также запускаем алгоритм реконструкции оператора $\mathcal{U}$ из приложения A — он корректно (с нулевой ошибкой) восстанавливается (с точностью до знака) для любого $N_{r}$ и любой используемой меры близости: $F^{\varrho\sigma}$, $F^{v}$, $F^{N\varrho^{2}}$, или $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$, независимо от специфики $F$. Это происходит только при точном отображении; когда в данных присутствует шум — низкие значения $F^{\varrho\sigma}$ затрудняют реконструкцию квантового канала по входным матрицам плотности. $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ не имеет этого ограничения, так как для $N_{s}=1$ оно равно надлежащей точности $F^{prop}$ (11). Мы рассматриваем $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ как очень перспективный подход к задаче реконструкции унитарного оператора из набора отображений матриц плотности смешанных состояний. Еще один — $F^{v}$ (14), который рассматривает матрицы плотности как «векторы», но он не имеет четкого физического смысла.

Ситуация с квантовыми каналами ранга Крауса $N_{s}>1$ является более проблематичной. $F^{\varrho\sigma}$ сильно занижает точность, а $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ больше не является корректным, поскольку при наличии более одного слагаемого в сумме (4) ни один квантовый канал не преобразует одновременно $\rho$ и $\sqrt{\rho}$ между гильбертовыми пространствами. Основная проблема, с которой мы столкнулись, заключается в построении точности, которая может быть выражена как квадратичная функция от $B_{s}$ в виде (16). Не каждая точность может быть выражена в такой форме. Использование прокси, такого как $F^{\varrho\sigma}$, $F^{N\varrho^{2}}$ и т.д., создает трудности – например, может стать возможным получение значения точности, превышающего значение, вычисленное при точном отображении квантового канала. Это основное требование к «прокси точности»: он должен достигать максимального значения при точном отображении квантового канала, см. раздел IV.1 ниже для контрпримеров.

IV Иерархия унитарных операторов

Как обсуждается ниже в Приложении A, прямая численная попытка получить операторы Крауса (4) в канонической калибровке (25) не работает из-за вырождения, вызванного увеличением размерности задачи на собственные значения с $Dn$ до $N_{s}Dn$ и сложностью формулирования вспомогательных ограничений сходимости. Ранее мы пытались использовать совершенно иной подход для поиска операторов Крауса, который включал специальную параметризацию операторов. Однако он оказался численно не очень устойчивым и применимым только к задачам малых размерностей, $n\lesssim 3$, таким как SO(3), см. Schäfers et al. 2024 для аналогичного рассмотрения.

Рассмотрим задачу реконструкции квантового канала с точки зрения «численного алгоритма». Какую задачу квантового канала мы можем эффективно решить для высокой размерности, т.е. $D\leq n>50$? На самом деле — только задачу поиска оптимального унитарного отображения (3), которое максимизирует (27) при условии ограничений частичной унитарности (28⟧).

Наш алгоритм Belov and Malyshkin 2024 обладает хорошей устойчивостью и сходимостью. Обновленную версию см. в приложении A, установив $N_{s}=1$ во всех формулах. Теперь, вместо оптимизации задачи Крауса (23) при ограничениях (24) и (25), рассмотрим унитарную иерархию. Квантовый канал строится как55 5 Этот квантовый канал имеет интересную физическую интерпретацию. Если (36) представляет собой временную эволюцию, то его можно рассматривать как квантовую систему, эволюционирующую одновременно с несколькими гамильтонианами, $\mathcal{U}^{[s]}=\exp\left[-i\frac{t}{\hbar}H_{s}\right]$, а не как систему, эволюционирующую с единственным гамильтонианом $H=\sum\limits_{s}H_{s}$⟧.

$$A^{\emph{OUT}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}|w_{s}|^{2}\mathcal{U}^{[s]}A^{\emph{IN}}\mathcal{U}^{[s]\,\dagger}$$ (36)

$$1 =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}|w_{s}|^{2}$$ (37)

где $\mathcal{U}^{[s]}$ являются частично унитарными операторами, удовлетворяющими ограничениям (28), а $|w_{s}|^{2}$ — положительные вещественные веса. Поскольку веса положительны, канал представляет собой выпуклую комбинацию унитарных каналов — mixed unitary channel. Заметим, что не каждый квантовый канал может быть представлен как смешанно-унитарный каналLee and Watrous 2020. Авторы Girard et al. 2022 доказали, что для любого смешанно-унитарного канала выполняется следующее неравенство рангов между рангом Крауса $N_{s}^{K}$ (4) и смешанно-унитарным рангом $N_{s}^{U}$ (количество членов в (36⟧)).

$$N_{s}^{U} \leq\left(N_{s}^{K}\right)^{2}-N_{s}^{K}+1$$ (38)

Может показаться, что сумма (36) точно представляет квантовый канал Крауса (4) с $B_{s}=w_{s}\mathcal{U}^{[s]}$ (они не обязательны в канонической форме (6), см. Приложение A.1 для преобразования), но фактический ранг Крауса может быть меньше количества членов в сумме (36). Однако, если мы заменим сумму общих операторов Крауса $B_{s}$ на сумму частично унитарных операторов $\mathcal{U}^{[s]}$, то мы сможем применить наш численный алгоритм для построения квантового канала как иерархии частично унитарных операторов. Рассматривая эту выпуклую комбинацию унитарных каналов, мы можем решать задачу инкрементально. Это затраты, необходимые для применения нашего численного методаBelov and Malyshkin 2024 к реконструкции квантового канала.

Идея нахождения $\mathcal{U}^{[s]}$ аналогична реконструкции матрицы плотности. Предположим, у нас есть матрица плотности $\varrho$ размерности $N_{s}$ с некоторыми собственными векторами $\phi^{[s]}$ и собственными значениями $P^{[s]}$, представляющая собой выпуклую комбинацию чистых состояний.

$$\varrho =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}P^{[s]}\Ket{\phi^{[s]}}\Bra{\phi^{[s]}}$$ (39)

$$\Ket{\varrho\middle|\phi^{[s]}} =P^{[s]}\Ket{\phi^{[s]}}$$ (40)

Для восстановления $\Ket{\phi^{[s]}}$ и $P^{[s]}$ можно решить последовательность задач оптимизации с ограничениями $N_{s}$.

$$P =\frac{\Braket{\phi|\varrho|\phi}}{\Braket{\phi|\phi}}\xrightarrow[\mathcal{\phi}]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (41)

$$0 =\Braket{\phi|\phi^{[s^{\prime}]}} s^{\prime}<s$$ (42)

На каждом шаге пара $\left(P^{[s]},\Ket{\phi^{[s]}}\right)$ получается из задачи оптимизации (41) при соблюдении однородных линейных ограничений (42). Вероятности $P^{[s]}$ уменьшаются с $s$ и полученные пары формируют иерархию состояний от наиболее вероятных к менее вероятным.

В Malyshkin 2019; Malyshkin 2022; Belov and Malyshkin 2024 мы сформулировали новую алгебраическую задачу

$$S\mathcal{U} =\lambda\mathcal{U}$$ (43)

где супероператор $S$ является тензором $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$, «собственный вектор» $\mathcal{U}$ представляет собой частично унитарный оператор (3) представленный матрицей $D\times n$ $u_{jk}$, а «собственное значение» $\lambda$ является эрмитовой $D\times D$ матрицей множителей Лагранжа $\lambda_{ij}$ (82). См. Приложение B ниже для его зависящей от времени формы (87).

Для построения иерархии пар (множителей Лагранжа, операторов) $\left(\lambda^{[s]},\mathcal{U}^{[s]}\right)$ с убывающей точностью $\mathcal{F}^{[s]}=\mathrm{Tr}\lambda^{[s]}$ нам необходим аналог условия ортогональности уже найденных состояний. В то время как в (42) для регулярной задачи на собственные значения со скалярным собственным числом результат остается неизменным независимо от выполнения скалярного произведения с членами «числителя» $P^{[s]}\Ket{\phi^{[s]}}$ или «знаменателя» $\Ket{\phi^{[s]}}$, в алгебраической задаче (43), где $\lambda_{ij}$ является эрмитовой матрицей, это уже не так. У нас есть несколько вариантов условий ортогональности для уже найденных состояний $s^{\prime}<s$, например, (44a) является аналогом «числителя», а (44b) — «знаменателя».”.

$$0 =\sum\limits_{i,j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{ik}\lambda^{[s^{\prime}]}_{ij}u^{[s^{\prime}]\,*}_{jk}=\Braket{\mathcal{U}|\lambda^{[s^{\prime}]}|\mathcal{U}^{[s^{\prime}]}}$$ (44a)

$$0 =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{jk}u^{[s^{\prime}]\,*}_{jk}=\Braket{\mathcal{U}|\mathcal{U}^{[s^{\prime}]}}$$ (44b)

Однако наиболее удобные ограничения соответствуют иерархии ортогональных квантовых каналов:

$$0 =\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k=k^{\prime}=0}^{n-1}u_{jk}S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}u^{[s^{\prime}]\,*}_{j^{\prime}k^{\prime}}=\Braket{\mathcal{U}|S|\mathcal{U}^{[s^{\prime}]}}$$ (45)

Наш численный алгоритм позволяет включить любое однородное линейное ограничение в (60). Мы полагаем, что соответствующим ограничением ортогональности для предыдущего состояния является однородное линейное ограничение (45). Мы также используем ограничение типа «знаменатель» (44b) в Приложении B ниже для построения тензора плотности. Причина, по которой мы выбираем форму (45) — предположим, что оператор $\mathcal{V}$ построен как

$$\mathcal{V} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}w_{s}\mathcal{U}^{[s]}$$ (46)

Затем, используя ограничение (45), получите

$$\Braket{\mathcal{V}|S|\mathcal{V}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}|w_{s}|^{2}\Braket{\mathcal{U}^{[s]}|S|\mathcal{U}^{[s]}}$$ (47)

т.е. единственный неунитарный оператор $\mathcal{V}$ может полностью определить квантовый канал (36) с $N_{s}>1$. Для заданного $\mathcal{V}$ веса разложения в (46) получаются как

$$w_{s} =\frac{\Braket{\mathcal{V}|S|\mathcal{U}^{[s]}}}{\Braket{\mathcal{U}^{[s]}|S|\mathcal{U}^{[s]}}}$$ (48)

Иерархия пар (множителей Лагранжа, операторов) строится путем выполнения (27) частично унитарной оптимизации (не Крауса!) $N_{s}$ раз. Для каждого $s$ включите ограничения (45) из всех предыдущих оптимизаций $s^{\prime}=0\dots s-1$ в полный набор (60). Результатом этой процедуры является иерархия пар $N_{s}$ $\left(\lambda^{[s]}_{ij},u^{[s]}_{jk}\right)$ с убывающей точностью..

Тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ может быть разложен:

$$S \approx\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\frac{1}{\mathcal{F}^{[s]}}\Ket{S\middle|\mathcal{U}^{[s]}}\Bra{\mathcal{U}^{[s]}\middle|S}$$ (49)

$$\mathcal{F}^{[s]} =\sum_{i=0}^{D-1}\lambda_{ii}^{[s]}=\Braket{\mathcal{U}^{[s]}\big.|S\big.|\mathcal{U}^{[s]}}$$ (50)

$$D =\Braket{\mathcal{U}^{[s]}\big.|\mathcal{U}^{[s]}}$$ (51)

$$\mathcal{F}^{[s]}\delta_{ss^{\prime}} =\Braket{\mathcal{U}^{[s]}\big.|S\big.|\mathcal{U}^{[s^{\prime}]}}$$ (52)

Это разложение подобно разложению по собственным векторам (39), но кет $\Ket{\cdot}$ и бра $\Bra{\cdot}$ теперь являются операторами, а $S$ называется superoperator. Заметим, что обычная ортогональность не выполняется $\Braket{\mathcal{U}^{[s]}\big.|\mathcal{U}^{[s^{\prime}]}}\neq\delta_{ss^{\prime}}$, (51) следует из ограничений частичной унитарности (28), а (52) следует из ограничений иерархии (45). Путем непрерывного решения ($s=0,1,2,\dots$) оптимизационной задачи (27) при соблюдении ограничений (28) и (45) мы можем построить требуемую иерархию решений $\left(\lambda^{[s]}_{ij},u^{[s]}_{jk}\right)$ для реконструкции квантового канала на ее основе, см. com/polytechnik/kgo/KGOHierarchy.java для ознакомления с реализацией. Возможная проблема с ограничением (45) заключается в том, что для решения $s$ в иерархии уравнение (43) не выполняется для некоторых проекций, количество которых равно числу предыдущих состояний в иерархии; для основного состояния $s=0$ все проекции удовлетворяются. Тем не менее, главное преимущество (45) состоит в том, что матрица (52) для аппроксимированного $S$ из (49) с полным базисом $N_{s}=Dn$ равна соответствующей матрице с точным $S$. Для реконструкции квантового канала как смешанного унитарного канала несколько решений с высоким $\mathcal{F}^{[s]}$ могут быть достаточны в ряде практических задач ML. Полученная иерархия может содержать до $Dn$ решений, что является максимально возможным числом $N_{s}$ слагаемых в сумме Крауса (4⟧).

Применение построенной иерархии обычно происходит тогда, когда доступен неунитарный оператор $\mathcal{V}$, обеспечивающий высокое значение точности. Примером такого оператора может служить решение задачи оптимизации (27) при частичных ограничениях (Eq. (26) с $N_{s}=1$), которое не удовлетворяет полному набору ограничений (28). Разложение (48) позволяет построить смешанный унитарный канал, обеспечивающий аналогичное значение точности. Задача построения квантового канала сводится к двум этапам: 1. Найти неунитарный оператор для оценки максимально возможной точности, а затем 2. Найти смешанный унитарный канал, который дает приблизительно такую же точность. Этот подход позволяет нам рассматривать последовательность задач $N_{s}=1$ вместо единой задачи с высоким рангом Крауса $N_{s}$. Единственным фактором, ограничивающим эту программу, является формулировка фактической целевой функции как квадратичной формы на операторах квантового канала. В большинстве случаев это возможно только посредством некоторого вида аппроксимации, что существенно ограничивает применимость данного метода..

IV.1 Демонстрация построенной иерархии операторов

Продемонстрируем построение иерархии операторов. Во-первых, хотелось бы отметить, что эта задача является более сложной для численного решения, чем исходная (27). С добавлением «внешних» ограничений (45) нам удалось решить задачу при $N_{s}$ не более $5$ до $10$, в зависимости от значений $D$ и $n$. Первая трудность возникает из-за численной неустойчивости и необходимости нового adjustment algorithm для удовлетворения как ограничений (28), так и (45), однако эта проблема является технической и может быть решена с небольшими усилиями. Вторая трудность является существенной. Задача оптимизации, которую мы можем решить, представляет собой оптимизацию квадратичного функционала (16). Однако верность смешанных состояний (11) не имеет такого вида, поэтому она не может быть напрямую применена к общему квантовому каналу. В унитарном случае, где $N_{s}=1$, существует несколько хороших вариантов, наиболее заметным из которых является $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ (31). В случаях, когда $N_{s}>1$, хороших вариантов нет, как показано на рис. 1b. По этой причине мы пробуем ряд «прокси» для полной верности (8). В частности, $F^{\varrho\sigma}$ (10), $F^{v}$ (14), $F^{N\varrho^{2}}$ (15) и $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ (31). Эти четыре выражения являются квадратичными по $\mathcal{U}$, что позволяет нам построить $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$, к которому может быть применен метод оптимизации..

Рассмотрим демонстрацию. Мы генерируем квантовый канал (4) размерности $D=n=10$ с рангом Крауса $N_{s}=3$. Затем генерируем $M=1000$ случайных состояний $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}$ (35) ранга $N_{r}=1$ (чистые состояния). Пропуская их через квантовый канал, получаем $\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}$ ранга $3$. Если мы вычислим общую точность (8) с близостью состояний $F^{prop}$ (11) этого $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}\to\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}$ отображения на $B_{s}$ квантового канала, то результат будет $\mathcal{F}^{prop}(B^{exact}_{s})=M=1000$, так как эти $B_{s}$ обеспечивают точное отображение матрицы плотности для всех $l$. Однако $F^{prop}$ не является квадратичной функцией от $B_{s}$ из-за квадратного корня, извлеченного из суммы (4) — наш алгоритм оптимизации не может быть применен. Вместо этого для четырех вышеупомянутых прокси точности, которые создают квадратичный целевой функционал (16), мы вычисляем супер-оператор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ из отображения матрицы плотности, выполняем оптимизацию и конструируем $N_{s}=3$ унитарную иерархию. Результат представлен в Таблице 1, см. com/polytechnik/algorithms/DemoDMGeneralMappingTest.java для реализации и запустите его как java com/polytechnik/algorithms/DemoDMGeneralMappingTest 2>&1 | grep Proxy=.

⟦Table 1: Демонстрация унитарной иерархии для квантового канала размерности $D=n=10$ с рангом Крауса $N_{s}=3$. В общей сложности $M=1000$ случайных матриц плотности $\rho^{(l)}_{kk^{\prime}}$ (35), каждая из которых имеет ранг $N_{r}=1$ (чистые состояния), генерируются и отображаются в $\varrho^{(l)}_{jj^{\prime}}$ с использованием квантового канала с рангом Крауса $N_{s}=3$. Отображение дает $\mathcal{F}^{prop}(B^{exact}_{s})=M=1000$ для надлежащей близости (11), но нам требуется квадратичное выражение (16) для полной точности. Рассматриваются четыре прокси-метрики точности: $F^{\varrho\sigma}$ (10), $F^{v}$ (14), $F^{N\varrho^{2}}$ (15) и $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ (31) для построения четырех различных иерархий. Для $N_{s}>1$ всегда существует единственное унитарное отображение, которое дает прокси-точность, превышающую точность всего квантового канала, например, для $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$ мы имеем $\mathcal{F}(B^{exact}_{s})=617.13<\mathcal{F}^{[0]}=627.04$, тогда как $\mathcal{F}^{prop}(B^{exact}_{s})=1000>\mathcal{F}^{prop}(\mathcal{U}^{[0]})=627.04$. Также заметьте, что среди всех четырех прокси-метрик $\mathcal{F}^{prop}(\mathcal{U}^{[i]})$ точно равно $\mathcal{F}^{[i]}$ только для прокси-точности $F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$, это следует из сопоставления (31) с (11) в случае $N_{s}=1$⟧.

$F$ constr.	$\mathcal{F}(B^{exact}_{s})$	$\mathcal{F}^{[0]}$	$\mathcal{F}^{prop}(\mathcal{U}^{[0]})$	$\mathcal{F}^{[1]}$	$\mathcal{F}^{prop}(\mathcal{U}^{[1]})$	$\mathcal{F}^{[2]}$	$\mathcal{F}^{prop}(\mathcal{U}^{[2]})$
$F^{\varrho\sigma}$	$\numprint{393.83174056666746}$	$\numprint{410.59157706919996}$	$\numprint{625.0040306604695}$	$\numprint{344.93589966221094}$	$\numprint{558.09695974508}$	$\numprint{303.1652344494753}$	$\numprint{507.43668942724173}$
$F^{v}$	$\numprint{626.7984497731115}$	$\numprint{652.4722048564872}$	$\numprint{625.1764439455511}$	$\numprint{552.3639263428842}$	$\numprint{559.8023064311709}$	$\numprint{487.66717379992394}$	$\numprint{510.978866576248}$
$F^{N\varrho^{2}}$	$\numprint{999.9999999999999}$	$\numprint{1039.4442877993176}$	$\numprint{625.3343362584491}$	$\numprint{886.3757723357511}$	$\numprint{561.4511329086889}$	$\numprint{786.06798160551}$	$\numprint{514.4057751611593}$
$F^{\sqrt{\varrho}\sqrt{\rho}}$	$\numprint{617.1272194016092}$	$\numprint{627.044255728697}$	$\numprint{627.04425541654}$	$\numprint{571.8589158842116}$	$\numprint{571.8589162721518}$	$\numprint{545.9414912987214}$	$\numprint{545.9414914815213}$

Прежде всего, отметим, что все прокси (за исключением $F^{N\varrho^{2}}$) не дают $M$ при точном отображении квантового канала $\mathcal{F}(B^{exact}_{s})$; однако это можно исправить путем нормализации. Основная трудность заключается в том, что для всех четырех прокси максимальная суммарная прокси-верность достигается не на точном отображении $B_{s}$ квантового канала. См. столбец $\mathcal{F}^{[0]}$ — суммарная прокси-верность, вычисленная для единичного унитарного оператора $\mathcal{U}^{[0]}$, превышает прокси-верность $\mathcal{F}(B^{exact}_{s})$ всего квантового канала $B_{s}$. Это общее свойство всех квадратичных по $B_{s}$ форм верности (16), которые мы протестировали, включая четыре перечисленные в Таблице 1, а также некоторые другие: существует единственный унитарный оператор, $\mathcal{U}^{[0]}$ в иерархии (52), который дает прокси-верность, превышающую верность всего квантового канала. Это основная проблема, возникающая при применении нашего алгоритма QCQP для реконструкции квантового канала с рангом Крауса $N_{s}>1$. В то время как для унитарного отображения матрицы плотности $N_{s}=1$ у нас есть ряд хороших вариантов квадратичной по $\mathcal{U}$ верности, в случае $N_{s}>1$ для всех протестированных нами прокси-верностей всегда существует единственное унитарное отображение, которое дает прокси-верность, превышающую верность всего квантового канала..

Квантовый канал всегда строится с заданным отображением. Ограничения (5) означают, что единичная матрица из гильбертова пространства IN должна отображаться в единичную матрицу в гильбертовом пространстве OUT. В Malyshkin 2022; Belov and Malyshkin 2024 рассматривался квантовый канал, преобразующий матрицу Грама в IN в матрицу Грама в OUT, с регуляризацией он эквивалентен тому же (5). В разделе III рассматривалось отображение квантового канала $\sqrt{\rho}\to\sqrt{\varrho}$, в унитарном случае $N_{s}=1$ тот же квантовый канал отображает как $\rho$, так и $\sqrt{\rho}$, что позволило нам применить unitary learning к отображениям матрицы плотности. Проблема построения хорошей квадратичной прокси-верности в случае $N_{s}>1$ является предметом будущих исследований.

IV.2 Отображения, сохраняющие след

Общий квантовый канал (4) представляет собой отображение между двумя гильбертовыми пространствами. В данной статье мы в основном используем его для преобразования матрицы плотности. Такое преобразование может не сохранять след матрицы. Например, частично унитарное отображение с $D<n$ и $N_{s}=1$ рассматривалось в Belov and Malyshkin 2024. Отображения, которые сохраняют след матрицы, имеют special importance в исследованиях квантовых каналов. Возникает вопрос: когда общий квантовый канал сохраняет след матрицы? Мы заинтересованы в формулировке задачи оптимизации (23) с квадратичными ограничениями, например (24). Рассмотрим матрицу плотности $\rho_{kk^{\prime}}$. Применение к ней квантового канала с операторами $b_{s,jk}$ и вычисление следа дает $\mathrm{Tr}\varrho$⟧.

$$\mathrm{Tr}\varrho =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}b_{s,jk}\rho_{kk^{\prime}}b^{*}_{s,jk^{\prime}}$$ (53)

Для выражения, обеспечивающего $\mathrm{Tr}\varrho=\mathrm{Tr}\rho$ для произвольного $\rho$, данные условия должны быть выполнены:

$$\delta_{kk^{\prime}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}b_{s,jk}b^{*}_{s,jk^{\prime}}$$ (54)

Уравнение (54) является известным условием сохранения следа

$$\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}B_{s}^{\dagger}B_{s} =\mathds{1}$$ (55)

Существуют $n(n+1)/2$ независимые ограничения на квантовый канал (4) для preserve следа. Для $N_{s}=1$ это непосредственно дает $n=D$. Для $n=D$ и произвольного $N_{s}$, (5) и (55) идентичны. В выпуклой комбинации калибровки унитарных каналов (36) с $D=n$ это дает (37). Для отображения вычисления следа (где $D=1$) это дает $N_{s}=n$. Для этих ограничений сохранения следа их линейные формы (86), составляющие в сумме $(n-1)(n+2)/2$, могут быть added к ограничениям (60) численного метода из приложения A⟧.

Для $n=D$ ограничения (54) эквивалентны (24). Для $D<n$ последние имеют меньше ограничений, чем первые. Когда $D<n$, значение $N_{s}$ следует выбирать достаточно большим, чтобы матрица Грама (76) не была вырожденной, см. (20) в качестве примера квантового канала с вычислением следа, имеющего $D=1$ и $N_{s}=n$. Для $D<n$ матрица $B_{s}$ имеет размерности $D\times n$, что придает матрице $B_{s}^{\dagger}B_{s}$ ранг $D$. Таким образом, для $D<n$, в случае отображений, сохраняющих след, ранг Крауса должен быть по меньшей мере

$$N_{s} \geq n-D+1$$ (56)

что является минимальным рангом Крауса. В противном случае матрица Грама (76) становится вырожденной, и условие сохранения следа (55) не может быть выполнено.

V Заключение

Мы конструируем «квантовую механику поверх квантовой механики», обобщая собственные состояния до операторов отображения квантовых каналов. В то время как в традиционной квантовой механике стационарное уравнение Шрёдингера определяет собственные состояния системы, в нашем подходе алгебраическая задача (43) определяет операторы отображения квантовых каналов. Общая точность должна быть квадратичной функцией от операторов (16), чтобы задача могла быть представлена в форме (43⟧).

Данная методика была применена к унитарному отображению матриц плотности. Поскольку для унитарного отображения один и тот же квантовый канал преобразует как матрицу плотности, так и её квадратный корень, наиболее перспективным подходом является преобразование отображения матрицы плотности (7) в отображение квадратного корня матрицы плотности (29), к которому мы можем применить наш алгоритм оптимизации QCQP. Это позволяет нам использовать унитарное обучение применительно к отображению матриц плотности, что представляет собой важный шаг вперед по сравнению с широко изучаемым унитарным отображением чистых состояний $\phi_{l}=\mathcal{U}\psi_{l}$; это позволяет нам различать вероятностную смесь состояний и их суперпозицию. Методика была протестирована на ряде случайно сгенерированных матриц плотности $\rho^{(l)}$ различных рангов, унитарно отображенных в $\varrho^{(l)}$; во всех случаях унитарный квантовый канал (3) был полностью восстановлен..

Затем задача была обобщена для квантовых каналов (4) с рангом Крауса $N_{s}>1$. Реконструкция отображения общего квантового канала представляется значительно более сложной задачей. Во-первых, мы не смогли представить надлежащую точность (11) в виде квадратичной формы операторов отображения, что потребовало использования аппроксимаций, обсуждаемых в разделе II. Разработка более качественного квадратичного представления точности (для операторов отображения) является предметом будущих исследований и тесно связана с физической интерпретацией квантовых каналов. Во-вторых, даже когда получена приближенная квадратичная форма для точности, алгоритм, описанный в приложении A, не сходится для $N_{s}>1$. Мы ожидаем, однако, что внедрение передовых методов наложения ограничений может привести к улучшениям. Если вместо реконструкции произвольного квантового канала мы ограничим задачу построением смешанного унитарного канала (36) с использованием иерархии унитарных операторов, то задача становится разрешимой, как подробно описано в разделе IV. Результаты, однако, менее удовлетворительны, чем хотелось бы, из-за «двойной аппроксимации»: во-первых, аппроксимации точности квадратичной формой, и во-вторых, опоры на смешанный унитарный квантовый канал вместо общего..

В данной работе мы исследовали квантовые каналы, которые преобразуют: единичную матрицу из IN в OUT (стандартное определение), матрицу Грама из IN в OUT, и $\sqrt{\rho}$ в $\sqrt{\varrho}$. Мы разработали метод нахождения глобального максимума путем решения новой алгебраической задачи (43), см. Приложение B, которое представляет обобщение этой алгебраической задачи на нестационарный случай и вводит зависящее от времени уравнение типа Шрёдингера для оператора $\mathcal{U}(t)$. Мы полагаем, что применение отображений квантовых каналов без памяти к другим задачам может обеспечить прочную основу для новой формы представления знаний в машинном обучении. Для получения первоначальных сведений о квантовых каналах с памятью см. Приложение C ниже.

Appendix A Численное решение

Описанный численный алгоритм является дальнейшим развитием алгоритма, представленного в Belov and Malyshkin 2024. Усовершенствования по сравнению с предыдущей версией включают:

• ⟦ Способность одновременно включать квадратичные ограничения различных типов, таких как (24) и (25), или, альтернативно, (54) и (25), требует введения двух видов множителей Лагранжа: $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$. Эти множители получаются из решения линейной системы (81).
• ⟦ Различные группы квадратичных ограничений создают различные линейные ограничения, способствующие сходимости. Общий метод, который не предполагает использования специального базиса, как в Belov and Malyshkin 2024, сформулирован в Приложении A.5. Этот метод включает варьирование общего количества $N_{c}$ квадратичных ограничений для получения $N_{c}-1$ однородных линейных ограничений и одного «упрощенного» (частичного) квадратичного ограничения (26), что облегчает использование стандартного решателя задач на собственные значения в качестве итеративного строительного блока алгоритма.
• ⟦ В дополнение к ограничениям, способствующим сходимости, теперь мы можем включить «внешние» линейные ограничения. Эти внешние ограничения могут быть использованы для построения иерархии решений для новой алгебраической задачи (43⟧).
• ⟦ Теперь, когда у нас есть несколько типов ограничений, особенно «внешние» ограничения и вспомогательные ограничения сходимости, процедура корректировки решения для удовлетворения всех ограничений становится более сложной. Это связано с тем, что корректировки для различных групп ограничений могут конфликтовать друг с другом. Следовательно, требуется стратегия разрешения конфликтов, подобная той, что обсуждается в Приложении A.2⟧.
• ⟦ Описанный ниже алгоритм сходится только тогда, когда $N_{s}=1$: максимизируется (27) при соблюдении ограничений (28). В настоящее время он не работает для общего квантового канала, где $N_{s}>1$, поскольку задача становится вырожденной и алгоритм не сходится. Тем не менее, приведенные ниже вычисления представлены для произвольного $N_{s}$, поскольку данный метод обеспечивает четкий подход для добавления ограничений различных типов. Текущая версия алгоритма сходится только для унитарного (и частично унитарного) обучения, когда $N_{s}=1$, при этом «внешние» ограничения могут быть использованы для построения hierarchy of unitary operators⟧.

Рассмотрим задачу оптимизации: optimize (23) при условии (24) и канонической калибровки (25) ограничений. Для общего $N_{s}$ решение задачи оптимизации представляет собой матрицу $b_{s,jk}$ размерности $N_{s}\times D\times n$, соответствующую $N_{s}$ операторам Крауса $B_{s}$ (4), которые удовлетворяют ограничениям ортогональности (5) и калибровочным ограничениям, т.е. (6). Это наиболее общая форма отображения гильбертова пространства $\Ket{\psi}$ размерности $n$ в гильбертово пространство $\Ket{\phi}$ размерности $D$. Это вариант задачи QCQP, и метод, который мы использовали в Belov and Malyshkin 2024, также может быть применен здесь. Тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}=S^{*}_{j^{\prime}k^{\prime};jk}$ является эрмитовым, он не зависит от индекса Крауса $s$; приведенные ниже вычисления могут быть обобщены на $s$-зависимые $S_{s,jk;s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime}}$, за исключением преобразования операторов Крауса к канонической форме с помощью Приложения A.1. Для простоты мы считаем $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ и $b_{s,jk}$ вещественными и не пишем комплексно-сопряженное ∗ ниже, обобщение на комплексные значения является прямолинейным. Рассмотрим лагранжиан

$$\mathcal{L} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}b_{s,jk}S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}b_{s,j^{\prime}k^{\prime}}$$

$$+\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\lambda_{jj^{\prime}}\left[\delta_{jj^{\prime}}-\sum\limits_{k^{\prime}=0}^{n-1}b_{s,jk^{\prime}}b_{s,j^{\prime}k^{\prime}}\right]$$

$$-\sum\limits_{s\neq s^{\prime}=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\nu_{ss^{\prime}}b_{s,jk}b_{s^{\prime},jk}\xrightarrow[b]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (57)

Существуют ограничения $D(D+1)/2$ (24) и ограничения $N_{s}(N_{s}-1)$ (25). Множители Лагранжа $\lambda_{jj^{\prime}}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$ являются эрмитовыми матрицами с соответствующим числом независимых элементов; матрица $\nu_{ss^{\prime}}$ имеет все диагональные элементы, равные нулю. Введем матрицу $\mathcal{S}_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$, чтобы рассмотреть задачу максимизации квадратичной формы, полученную с частичным ограничением (26⟧)

$$\mathcal{S}_{s,jk;s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime}}=\delta_{ss^{\prime}}S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}-\lambda_{jj^{\prime}}\delta_{ss^{\prime}}\delta_{kk^{\prime}}-\nu_{ss^{\prime}}\delta_{jj^{\prime}}\delta_{kk^{\prime}}$$ (58)

$$\frac{\sum\limits_{s,s^{\prime}=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}b_{s,jk}\mathcal{S}_{s,jk;s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime}}b_{s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime}}}{\frac{1}{D}\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{2}_{s,jk}}\xrightarrow[b]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (59)

Следуя Belov and Malyshkin 2024, мы вычисляем множители Лагранжа $\lambda_{jj^{\prime}}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$ из текущей итерации $b_{s,jk}$, см. Приложение A.4 ниже — затем $\mathcal{S}_{s,jk;s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime}}$ фиксируется, и задача (59) может рассматриваться как задача на собственные значения. Дополнительные $N_{d}$ линейные ограничения на $b_{s,jk}$ могут быть включены для улучшения сходимости или получения последовательности решений, см. Приложение A.5 для ограничений, улучшающих сходимость, и (45) для получения последовательности решений.

$$0 =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{d;s,jk}b_{s,jk} d=0\dots N_{d}-1$$ (60)

Распространенным методом решения задачи на собственные значения (59) с homogeneous линейными ограничениями (60) является метод множителей ЛагранжаGolub 1973. Поскольку у нас имеется большое количество ограничений, лучше использовать прямое исключение. Из $N_{s}Dn$ независимых компонентов $b_{s,jk}$ выберите некоторые общие переменные $V_{p}$, $p=0\dots N_{V}-1$

$$N_{V} =N_{s}Dn-\mathrm{rank}(C_{d;s,jk})$$ (61)

$$b_{s,jk} =\sum\limits_{p=0}^{N_{V}-1}M_{s,jk;p}V_{p}$$ (62)

где ограничения в (60) исключены. Метод выбора может быть Gaussian elimination, QR decomposition, или аналогичный метод. Простая реализация с поворотом строк и столбцов используется в com/polytechnik/utils/EliminateLinearConstraints_HomegrownLUFactorization.java. Результатом является матрица $M_{s,jk;p}$, которая преобразует $N_{V}$ независимых переменных $V_{p}$ в $b_{s,jk}$ из $N_{s}Dn$ компонентов, удовлетворяющих всем ограничениям (60). Новая задача на собственные значения имеет матрицы $\mathcal{S}_{p;p^{\prime}}$ и $Q_{p;p^{\prime}}$ в числителе и знаменателе соответственно.

$$\mathcal{S}_{p;p^{\prime}} =\sum\limits_{s,s^{\prime}=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j,j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}M_{s,jk;p}\mathcal{S}_{s,jk;s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime}}M_{s^{\prime},j^{\prime}k^{\prime};p^{\prime}}$$ (63a)

$$Q_{p;p^{\prime}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}M_{s,jk;p}M_{s,jk;p^{\prime}}$$ (63b)

Тогда мы можем записать задачу на собственные значения (59) в виде,

$$\frac{\sum\limits_{p,p^{\prime}=0}^{N_{V}-1}V_{p}\mathcal{S}_{p;p^{\prime}}V_{p^{\prime}}}{\sum\limits_{p,p^{\prime}=0}^{N_{V}-1}V_{p}Q_{p;p^{\prime}}V_{p^{\prime}}}\xrightarrow[V]{\hskip 8.19447pt}\max$$ (64)

$$\sum\limits_{p^{\prime}=0}^{N_{V}-1}\mathcal{S}_{p;p^{\prime}}V^{[i]}_{p^{\prime}}=\mu^{[i]}\sum\limits_{p^{\prime}=0}^{N_{V}-1}Q_{p;p^{\prime}}V^{[i]}_{p^{\prime}}$$ (65)

которая имеет $\mathrm{rank}(C_{d;s,jk})$ меньшую размерность и не содержит линейных ограничений. Матрица $Q_{p;p^{\prime}}$ в знаменателе больше не является единичной матрицей. Это не является проблемой, так как любой современный пакет линейной алгебры внутренне преобразует обобщенную задачу на собственные значения в обычную, см. например DSYGST, DSPGST, DPBSTF и аналогичные подпрограммы. Объединяя все вместе, алгоритм принимает вид:

1. ⟦ Возьмите начальные $\lambda_{ij}$, $\nu_{ss^{\prime}}$ и линейные ограничения $C_{d;s,jk}$ для решения задачи оптимизации (64) относительно $V_{p}$. Метод решения включает в себя решение задачи на собственные значения размерности $N_{V}$, количества столбцов в матрице $M_{s,jk;p}$. Новый $b_{s,jk}$ получается из $V_{p}$ с использованием (62). Результат: $i=0\dots N_{V}-1$ собственные значения $\mu^{[i]}$ и соответствующие матрицы $b_{s,jk}^{[i]}$, реконструированные из $V_{p}^{[i]}$. Значение $N_{V}$ обычно составляет $N_{s}Dn-(D-1)(D+2)/2-N_{s}(N_{s}-1)/2$. Дополнительные ограничения (дальнейшее сокращение $N_{V}$) добавляются при построении иерархии операторов.
2. ⟦ Требуется эвристика для выбора $b_{s,jk}$ среди всех собственных состояний $N_{V}$. Обсуждение этого вопроса приведено в Belov and Malyshkin 2024. Наши численные эксперименты показывают, что в большинстве случаев достаточно всегда брать состояние с максимальным $\mu^{[i]}$ для достижения глобального максимума. В текущей реализации мы всегда выбираем это состояние.
3. ⟦ Полученное $b_{s,jk}$ удовлетворяет лишь частичному ограничению (26). Нам необходимо скорректировать его так, чтобы оно удовлетворяло всем требуемым ограничениям ортогональности и канонической формы. Скорректируйте $b_{s,jk}$ с помощью Приложения A.2 для обеспечения ортогональности (24), затем примените результат к Приложению A.1, чтобы преобразовать операторы Крауса в каноническую форму (25). Для $N_{s}=1$ преобразование в каноническую форму не требуется. С помощью полученного $b_{s,jk}$ вычислите множители Лагранжа $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$ для следующей итерации, как описано в Приложении A.4⟧.
4. ⟦ Для хорошей сходимости, помимо множителей Лагранжа, нам необходимо выбрать подпространство для вариации следующей итерации. Использование базиса полного размера приводит к плохой сходимости Malyshkin 2022. Используйте Приложение A.5 чтобы получить (из $b_{s,jk}$) коэффициенты линейных ограничений $C_{d;s,jk}$, используемые в (60). Существует важная особенность этого подхода с дополнительными линейными ограничениями. В дополнение к ограничениям из Приложения A.5, мы можем вручную добавить некоторые внешние ограничения, такие как требование нулевой проекции (45) на уже найденные решения. Таким образом может быть получена иерархия решений высокого $\mathcal{F}$..
5. ⟦ Подставьте эти новые $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$ в (58) и, используя базис $V_{p}$, полученный (62) из $C_{d;s,jk}$, вычислите матрицы числителя и знаменателя обобщенной задачи на собственные значения (63), которые будут использованы на следующей итерации. Повторяйте итерационный процесс до сходимости к максимуму (предположительно глобальному) $\mathcal{F}$ при $b_{s,jk}$, удовлетворяющих ограничениям (24) и (25). Если сходимость достигнута, множители Лагранжа перестают изменяться от итерации к итерации, а $\mu^{[i]}$ выбранного состояния на шаге 2 близки к нулю. На первой итерации примите нулевые начальные значения для множителей Лагранжа и не используйте линейные ограничения.

Для общей $N_{s}$ реализации этого алгоритма см. com/polytechnik/kgo/IterationalSubspaceLinearConstraintsNaiveKraus.java. Существует специальная $N_{s}=1$ реализация его com/polytechnik/kgo/KGOIterationalSubspaceLinearConstraintsB.java; они используют общую кодовую базу и модульные тесты. В настоящее время алгоритм сходится только если $N_{s}=1$; в этом случае, за исключением улучшений реализации и оптимизаций, он обладает свойствами, очень похожими на com/polytechnik/kgo/KGOIterationalSubspaceLinearConstraints.java реализацию в Belov and Malyshkin 2024⟧.

A.1 Преобразование операторов Крауса к канонической форме

Выбор операторов Крауса $B_{s}$, в которых производится оценка (23), не является единственным; должна существовать калибровка, регулирующая избыточные степени свободы. Например, рассмотрим данные точного унитарного отображения $\Ket{\psi_{l}}\Bra{\psi_{l}}\to\Ket{\phi_{l}}\Bra{\phi_{l}}$ с оператором $\mathcal{U}$, обеспечивающим полное покрытие в (2). Пусть мы хотим описать эти данные с помощью отображения (4) ранга Крауса $N_{s}=2$. Тогда любая комбинация $B_{s}=w_{s}\mathcal{U}$ с $1=\sum_{s}|w_{s}|^{2}$ является решением. Задача становится вырожденной. Это создает трудности как при анализе результатов, так и при достижении сходимости в итерационном алгоритме – любая вырожденность значительно ухудшает её. Принято рассматривать операторы Крауса $B_{s}$ в канонической форме (6). Задача сводится к следующему: преобразование заданной матрицы $b_{s,jk}$ в каноническую форму уравнения (25⟧).

Операторы Крауса могут рассматриваться как некоторые состояния супероператоров, подобные состояниям матрицы плотности, но кет $\Ket{\cdot}$ и бра $\Bra{\cdot}$ теперь являются операторами: $\sum_{s}\Ket{B_{s}}\Bra{B_{s}}$, а не векторами. Эта алгебра может быть использована при разложении тензоров, таких как $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ (49) — тогда вычисление $\mathcal{F}$ представляет собой внутреннее произведение супероператоров. В данной работе мы не будем обсуждать построение алгебры супероператоров и ее приложения. Наиболее важным приложением является построение иерархии операторов в разделе IV, что позволяет нам реконструировать квантовый канал на основе наблюдаемых данных. Существует ряд других интересных особенностей, возникающих на этом пути, и мы надеемся представить подробное обсуждение в другом месте. В этом приложении мы ограничимся одной небольшой, но важной задачей..

Предположим, мы получили частично оператор Крауса в виде матрицы $b_{s,jk}$, которая оценивает точность до некоторого $\mathcal{F}$ (23). Это $b_{s,jk}$ не удовлетворяет ограничениям (25). Задача состоит в преобразовании $b_{s,jk}$ в новое $\widetilde{b}_{s,jk}$, удовлетворяющее (25) при сохранении того же значения функционала $\mathcal{F}$. Решение не является единственным и требует калибровки, подобной ортогонализации базиса. Поскольку тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ не зависит от индекса Крауса $s$, решение может быть легко найдено. Мы используем тот же метод, который ранее применялся при корректировке частичной унитарности Belov and Malyshkin 2024, как описано в Приложении A.2. Применить его здесь еще проще, поскольку диагональные элементы не входят в ограничения, определенные в (25). Рассмотрим матрицу Грама в пространстве Крауса

$$G_{ss^{\prime}} =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}b_{s,jk}b_{s^{\prime},jk}$$ (66)

и решить с его помощью задачу на собственные значения

$$\Ket{G\middle|g^{[i]}} =\lambda_{G}^{[i]}\Ket{g^{[i]}} i=0\dots N_{s}-1$$ (67)

Поскольку $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ не зависит от $s$ можно убедиться, что

$$\widetilde{b}_{s,jk} =\sum\limits_{s^{\prime}=0}^{N_{s}-1}g^{[s]}_{s^{\prime}}b_{s^{\prime},jk}$$ (68)

удовлетворяет ограничениям 25, в то время как значение $\mathcal{F}$ (23) остается прежним. Смотрите com/polytechnik/kgo/TransformToCanonicalFormKraus.java для ознакомления с реализацией. Реализация прямолинейна: вычислить матрицу Грама (66), решить проблему собственных значений (67), затем преобразовать исходные $b_{s,jk}$ к базису найденных собственных векторов (68); $\mathcal{F}$ не изменяется при данном преобразовании.

A.2 Корректировка операторов до ортогональных

$b_{s,jk}$, найденный на некоторой итерации, может не удовлетворять всем требуемым ограничениям. В приложении A.1 мы рассмотрели ограничения канонической формы (25), теперь рассмотрим ограничения ортогональности (24). Достаточно рассмотреть единственный $u_{jk}$, поскольку одно и то же преобразование применяется ко всем $b_{s,jk}$. Матрица Грама

$$G_{jj^{\prime}} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{jk}u_{j^{\prime}k}$$ (69)

(или $G_{jj^{\prime}}=\sum_{s=0}^{N_{s}-1}\sum_{k=0}^{n-1}b_{s,jk}b_{s,j^{\prime}k}$ для $N_{s}>1$) является единичной матрицей, когда все ограничения (24) выполнены. В противном случае — мы хотим изменить $u_{jk}$ таким образом, чтобы изменение было как можно меньшим. Следуя Belov and Malyshkin 2024, мы применяем ту же технику $G^{-1/2}_{jj^{\prime}}$. В частности, решаем задачу на собственные значения

$$\Ket{G\middle|g^{[i]}} =\lambda_{G}^{[i]}\Ket{g^{[i]}} i=0\dots D-1$$ (70)

и вычислить обратный квадратный корень матрицы Грама

$$\left\|G^{-1/2}\right\| =\sum\limits_{i=0}^{D-1}\frac{\pm 1}{\sqrt{\lambda_{G}^{[i]}}}\Ket{g^{[i]}}\Bra{g^{[i]}}$$ (71)

Проверяя результат, можно убедиться, что для любого $u_{jk}$, создающего невырожденную матрицу Грама (69), матрица

$$\widetilde{u}_{jk} =\sum\limits_{i=0}^{D-1}G^{-1/2}_{ji}u_{ik}$$ (72)

удовлетворяет всем (28) ограничениям (или $\widetilde{b}_{s,jk}=\sum_{i=0}^{D-1}G^{-1/2}_{ji}b_{s,ik}$ и ограничениям (24) для $N_{s}>1$; в этом преобразовании мы применяем одно и то же $G^{-1/2}_{ji}$ к каждому оператору Крауса $B_{s}$ — корректировка не зависит от $s$). Ранее рассмотренное преобразование к канонической форме (68) имеет важное отличие от (72). Преобразование (68) не изменяет никакую наблюдаемую, оно просто переставляет $B_{s}$ между собой в сумме (4) (калибровочное преобразование) таким образом, что полученные $B_{s}$ удовлетворяют ограничениям канонической формы (6), в частности (25). Однако уравнение (72) фактически изменяет решение, невозможно удовлетворить (24) без изменения самого решения. Мы не будем повторять пространное обсуждение Belov and Malyshkin 2024 об этом методе корректировки $G^{-1/2}_{ji}$, лишь отметим, что он вносит «минимальное возмущение» в решение, что весьма выгодно для итерационного алгоритма. Этот метод корректировки реализован в com/polytechnik/kgo/AdjustToOrthogonalKraus.java.

Возникает проблема при построении иерархии операторов в разделе IV — там у нас есть внешние линейные ограничения (45), которые необходимо добавить к итерационному алгоритму. В то время как ограничения, способствующие сходимости, из приложения A.5 сами по себе вычисляются на основе скорректированного $\widetilde{u}_{jk}$ (72), внешние ограничения отличаются тем, что они заданы заранее. Применение $G^{-1/2}_{jj^{\prime}}$ к текущей итерации $u_{jk}$, которая удовлетворяет внешним ограничениям благодаря (62), включающему все линейные ограничения, может создать $\widetilde{u}_{jk}$, который не удовлетворяет внешним ограничениям. В большинстве случаев эту проблему можно игнорировать, поскольку по мере выполнения итераций решение сходится к требуемому подпространству. Однако было бы полезно модифицировать процедуру корректировки для явного включения внешне заданных однородных линейных ограничений..

Рассмотрите внешние ограничения

$$0 =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C^{e}_{d;jk}u_{jk}$$ (73)

здесь $C^{e}_{d;jk}$ представляет, например, ограничения (45), где индекс $d$ нумерует ограничения; они не включают вспомогательные ограничения сходимости из Приложения A.5, которые определяются позже, после того как получено скорректированное с учетом ограничений $u_{jk}$. Чтобы упростить проекции ниже, рассмотрим $C^{e}_{d;jk}$ и $u_{jk}$ как векторы и преобразуем $C^{e}_{d;jk}$ в ортогональную форму. Можно либо использовать ортогонализацию Грама-Шмидта, либо, в качестве альтернативы, применить ту же технику $G^{-1/2}$, которую мы ранее used для другой задачи. Теперь мы преобразуем (73)

$$G_{dd^{\prime}} =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C^{e}_{d;jk}C^{e}_{d^{\prime};jk}$$ (74a)

$$\widetilde{C}^{e}_{d;jk} =\sum_{d^{\prime}}G^{-1/2}_{dd^{\prime}}C^{e}_{d^{\prime};jk}$$ (74b)

к ортогонализированной форме $\delta_{dd^{\prime}}=\sum_{j=0}^{D-1}\sum_{k=0}^{n-1}\widetilde{C}^{e}_{d;ik}\widetilde{C}^{e}_{d^{\prime};ik}$; единственная цель этой ортогонализации состоит в получении простой формулы проекции (75) ниже. Рассмотрим следующую итерацию:

• ⟦ Возьмите исходный $u_{jk}$ и преобразуйте его в форму, удовлетворяющую ограничениям ортогональности (72⟧).
• ⟦ Это $\widetilde{u}_{jk}$ удовлетворяет (28) но может не удовлетворять внешним линейным ограничениям (73). Удалите проекции

  $$\widetilde{\widetilde{u}}_{jk} =\widetilde{u}_{jk}-\sum\limits_{d}\widetilde{C}^{e}_{d;jk}\sum\limits_{j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k^{\prime}=0}^{n-1}\widetilde{C}^{e}_{d;j^{\prime}k^{\prime}}\widetilde{u}_{j^{\prime}k^{\prime}}$$ (75)

  Полученное $\widetilde{\widetilde{u}}_{jk}$ удовлетворяет внешним ограничениям (73) но может не удовлетворять ограничению ортогональности (28⟧).
• ⟦ Повторите процесс, выполнив ряд итераций. Данный алгоритм итерационной корректировки сам по себе обладает низкой сходимостью и требует около сотни итераций для получения $u_{jk}$, которое точно удовлетворяет обоим ограничениям (28) и (73). Однако, поскольку эта итерационная корректировка является лишь шагом 3 основного итерационного алгоритма, нам не обязательно требуется точное решение. Численные эксперименты показывают, что от $3$ до $6$ итераций достаточно для сходимости основного итерационного алгоритма при наличии внешних линейных ограничений.

См. com/polytechnik/kgo/AdjustToUnitaryWithEV_SubjectToLinearConstraints.java для ознакомления с реализацией. Как было подчеркнуто выше, нескольких итераций этих последовательных корректировок достаточно для достижения хорошей сходимости основного алгоритма. Тем не менее, возможны значительные улучшения, и необходимо дальнейшее изучение этой проблемы..

A.3 Корректировка квантового канала для сохранения следа

$b_{s,jk}$, найденный на некоторой итерации, может не удовлетворять ограничениям (54) сохранения следа. Мы можем применить ту же технику $G^{-1/2}$ из Приложения A.2 для корректировки операторов квантового канала $b_{s,jk}$ с целью сохранения следа. Рассмотрим матрицу Грама

$$G_{kk^{\prime}} =\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{j=0}^{D-1}b_{s,jk}b_{s,jk^{\prime}}$$ (76)

и решить с его помощью задачу на собственные значения

$$\Ket{G\middle|g^{[i]}} =\lambda_{G}^{[i]}\Ket{g^{[i]}} i=0\dots n-1$$ (77)

Поскольку у нас обычно есть $D\leq n$, матрица Грама (76) может стать вырожденной. Чтобы избежать вырождения, количество членов $N_{s}$ в квантовом канале должно быть достаточно большим, существует минимальный ранг Крауса (56). Для невырожденной $G$ вычислите её обратный квадратный корень:

$$\left\|G^{-1/2}\right\| =\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{\pm 1}{\sqrt{\lambda_{G}^{[i]}}}\Ket{g^{[i]}}\Bra{g^{[i]}}$$ (78)

И примените его к текущему решению $b_{s,jk}$⟧

$$\widetilde{b}_{s,jk} =\sum\limits_{q=0}^{n-1}G^{-1/2}_{kq}b_{s,jq}$$ (79)

Проверив результат, можно убедиться, что $\widetilde{b}_{s,jk}$ удовлетворяет всем ограничениям сохранения следа (54), см. com/polytechnik/kgo/AdjustToTracePreservingKraus.java для ознакомления с реализацией. Заметьте, что задача может стать вырожденной, что требует особого внимания. Также заметьте, что (79) аналогично (72) и, в отличие от (68), фактически изменяет $b_{s,jk}$. Возможный конфликт между различными корректировками может быть потенциально разрешен аналогично resolution конфликта между линейными ограничениями и корректировкой (72).

A.4 Вычисление множителей Лагранжа

Вариация лагранжиана $\mathcal{L}$ (57) должна быть равна нулю в итерационном состоянии $b_{s,jk}$

$$0=\frac{1}{2}\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta b_{s,iq}} =\sum\limits_{j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k^{\prime}=0}^{n-1}S_{iq;j^{\prime}k^{\prime}}b_{s,j^{\prime}k^{\prime}}$$

$$-\sum\limits_{j^{\prime}=0}^{D-1}\lambda_{ij^{\prime}}b_{s,j^{\prime}q}-\sum\limits_{s^{\prime}=0}^{N_{s}-1}\nu_{ss^{\prime}}b_{s^{\prime},iq}$$ (80)

Всего имеется $N_{s}Dn$ уравнений. Они все удовлетворяются, если $b_{s,jk}$ является экстремальным в (59). Используемый $b_{s,jk}$, однако, имеет примененную к нему процедуру корректировки ортогональности из Приложения A.2, и вариация Лагранжа больше не равна нулю. Множители Лагранжа представляют собой эрмитовы матрицы $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$, они имеют $D(D+1)/2$ и $N_{s}(N_{s}-1)/2$ независимых значений, таким образом, все $N_{s}Dn$ уравнений не могут быть удовлетворены одновременно. Нам необходимо выбрать $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$, чтобы гарантировать, что они наилучшим образом удовлетворяют условию нулевой вариации для заданного $b_{s,jk}$. Рассмотрим $L^{2}$ норму (80) и найдем $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$, минимизирующие сумму квадратов.

$$\sum\limits_{s=0}^{N_{s}-1}\sum\limits_{i=0}^{D-1}\sum\limits_{q=0}^{n-1}\left|\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta b_{s,iq}}\right|^{2}\xrightarrow[\lambda_{ij},\nu_{ss^{\prime}}]{\hskip 8.19447pt}\min$$ (81)

Для упрощения минимизации (81) удобно отобразить $\lambda_{ij}$ в вектор независимых компонентов $\lambda_{r}$. Можно заметить, что для $j\leq i$ индекс вектора может быть принят как $r=i(i+1)/2+j$ (если $j>i$ поменять их местами). Аналогично для $\nu_{r}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$ принять индекс вектора как $r=s(s-1)/2+s^{\prime}$ для $s^{\prime}<s$, в противном случае поменять индексы местами. Затем продифференцировать (81) по $\lambda_{r}$ и $\nu_{r}$, чтобы получить линейную систему относительно них. Ранее в Belov and Malyshkin 2024 аналогичная линейная система была аналитически решена и было получено явное выражение для $\lambda_{ij}$..

$$\lambda_{ij} =\mathrm{Herm}\sum\limits_{j^{\prime}=0}^{D-1}\sum\limits_{k,k^{\prime}=0}^{n-1}u_{ik}S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}u_{j^{\prime}k^{\prime}}$$ (82)

Это аналитическое решение в случае $N_{s}=1$ с $u_{jk}=b_{0,jk}$, удовлетворяющее ограничениям (28), см. com/polytechnik/kgo/LagrangeMultipliersPartialSubspace.java:calculateRegularLambda для реализации этого частного случая. В общем случае мы имеем два типа множителей Лагранжа: $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$, что не позволяет нам получить аналитическое решение. Но задача проста: взять каждый член из (80), возвести его в квадрат и просуммировать по всем $s,i,q$. Дифференцировать эту сумму квадратов по векторам $\lambda_{r}$ и $\nu_{r}$, чтобы получить линейную систему, а затем решить ее. Вычисления просты, но объемны, см. com/polytechnik/kgo/LagrangeMultipliersNaiveKraus.java:getLagrangeMultipliers для реализации, которая, получая на вход $b_{s,jk}$ и $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$, вычисляет матрицы множителей Лагранжа $\lambda_{ij}$ и $\nu_{ss^{\prime}}$⟧.

Данный подход отличается от общепринятого тем, что мы используем только вариацию Лагранжа (80) для вычисления множителей Лагранжа. Затем $b_{s,jk}$ определяется из решения задачи на собственные значения с этими множителями Лагранжа, используемыми в (58). Это позволяет нам применять корректировки, удовлетворяющие ограничениям, к $b_{s,jk}$ перед использованием его при вычислении множителей Лагранжа. Мы не можем одновременно решить задачу оптимизации для множителей Лагранжа $\lambda_{ij}$, $\nu_{ss^{\prime}}$ и решения $b_{s,jk}$. Вместо этого на каждой итерации мы корректируем $b_{s,jk}$ для удовлетворения всех требуемых ограничений, решаем линейную систему для нахождения множителей Лагранжа, а затем используем их в задаче на собственные значения для нахождения следующего $b_{s,jk}$⟧.

A.5 Линейные ограничения помощника сходимости

Изучаемая нами проблема включает квадратичные ограничения (24) и (25). Эти ограничения не могут быть напрямую включены в задачу на собственные значения (59). Однако однородные линейные ограничения могут быть легко включены. Давайте построим линейные ограничения, соответствующие ограниченному локальному варьированию текущей итерации $b_{s,jk}$. Концепцию можно проиллюстрировать путем варьирования квадратичного ограничения $\Braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}}=0$ для получения линейного ограничения на $\delta\mathbf{x}$ и $\delta\mathbf{y}$ при фиксированных $\mathbf{x}=u_{j*}$ и $\mathbf{y}=u_{j^{\prime}*}$: $\delta\Braket{\mathbf{x}|\mathbf{y}}=\Braket{\delta\mathbf{x}|\mathbf{y}}+\Braket{\mathbf{x}|\delta\mathbf{y}}=0$; аналогично, два выражения $1=\Braket{\mathbf{x}|\mathbf{x}}=\Braket{\mathbf{y}|\mathbf{y}}$ заменяются на $\Braket{\mathbf{x}|\mathbf{x}}-\Braket{\mathbf{y}|\mathbf{y}}=0$. Варьируя его, получаем линейное ограничение на $\delta\mathbf{x}$ и $\delta\mathbf{y}$: $\Braket{\delta\mathbf{x}|\mathbf{x}}+\Braket{\mathbf{x}|\delta\mathbf{x}}-\Braket{\delta\mathbf{y}|\mathbf{y}}-\Braket{\mathbf{y}|\delta\mathbf{y}}=0$. В случае унитарного отображения ($D=n$, $N_{s}=1$) это соответствует замене $n(n+1)/2$ квадратичных ограничений унитарного свойства (28) на $n(n+1)/2-1$ однородных линейных ограничений (60), которые просто уменьшают размерность пространства поиска (62), и единичного квадратичного ограничения (26), называемого упрощенным (частичным) ограничением. Затем эта задача может быть итеративно решена с отличной сходимостью с использованием решателя задач на собственные значения в качестве базового элемента..

Рассмотрим (24) $j\neq j^{\prime}$ внедиагональные элементы. Всего существует $D(D-1)/2$ различных элементов. Варьируя (24), мы получаем

$$C_{d;s,jk} =b_{s,j^{\prime}k}$$ (83a)

$$C_{d;s,j^{\prime}k} =b_{s,jk}$$ (83b)

Два уравнения задают различные элементы в $C_{d;s,jk}$ для одного и того же $d$, их можно рассматривать как две команды инициализации для матрицы $C_{d;s,jk}$. В (83) индекс ограничения $d$ принимает $D(D-1)/2$ различных значений, соответствующих всем $j^{\prime}<j$ парам.

Рассмотрим неоднородные ограничения (24) соответствующие диагональным элементам с $j=j^{\prime}$. Их насчитывается $D$. Поскольку частичное ограничение (26) сохраняет полную норму, достаточно, чтобы все диагональные элементы были равны. Равенство диагональных элементов представляет собой однородное ограничение, дающее $D-1$ ограничений для заданного $b_{s,jk}$⟧.

$$C_{d;s,jk} =b_{s,jk}$$ (84a)

$$C_{d;s,j-1\,k} =-b_{s,j-1\,k}$$ (84b)

Аналогично предыдущему случаю, два уравнения задают различные элементы в $C_{d;s,jk}$ для одного и того же $d$. В (84) индекс ограничения $d$ принимает $D-1$ различных значений, соответствующих $j=1\dots D-1$. Для реализации (83) и (84) см. com/polytechnik/kgo/LinearConstraintsKraus.java:getOrthogonalOffdiag0DiagEq.

Рассмотрим ограничения канонической формы на операторы Крауса (25). Диагональные элементы отсутствуют, что приводит в общей сложности к $N_{s}(N_{s}-1)/2$ различным ограничениям. Аналогичным образом получим

$$C_{d;s,jk} =b_{s^{\prime},jk}$$ (85a)

$$C_{d;s^{\prime},jk} =b_{s,jk}$$ (85b)

Два уравнения задают различные элементы в $C_{d;s,jk}$ для одного и того же $d$, их можно рассматривать как две команды инициализации для матрицы $C_{d;s,jk}$. В (85) индекс ограничения $d$ принимает $N_{s}(N_{s}-1)/2$ различных значений, соответствующих всем парам $s^{\prime}<s$; для $N_{s}=1$ ограничения исчезают. Для реализации (85) см. com/polytechnik/kgo/LinearConstraintsKraus.java:getOrthogonalKrausOffdiag0.

Квадратичные ограничения для сохранения следа (54) могут порождать $(n-1)(n+2)/2$ однородных линейных ограничений, подобно тому, как (83) и (84) были выведены из ограничения ортогональности (24).

$$C_{d;s,jk} =b_{s,jk^{\prime}}$$ (86a)

$$C_{d;s,jk^{\prime}} =b_{s,jk}$$ (86b)

and

$$C_{d;s,jk} =b_{s,jk}$$ (86c)

$$C_{d;s,jk-1} =-b_{s,jk-1}$$ (86d)

см. com/polytechnik/kgo/LinearConstraintsKraus.java:getTracePreservingConstraints для реализации.

Эти линейные однородные ограничения, способствующие сходимости, могут быть обобщены следующим образом:

• ⟦ (83) — $D(D-1)/2$ в сумме, что соответствует (24), гарантирует, что внедиагональные элементы равны нулю.
• ⟦ (84) — $D-1$ в сумме, что соответствует (24), обеспечивает равенство диагональных элементов.
• ⟦ (85) — $N_{s}(N_{s}-1)/2$ в сумме, что соответствует (25).
• ⟦ (86) — $(n-1)(n+2)/2$ в сумме, соответствующие (54), опционально используемые вместо (83) и (84).

Объединенный набор линейных ограничений может быть сведен к (60) с $N_{d}=(D-1)(D+2)/2+N_{s}(N_{s}-1)/2$ для ограничения66 6 Из $n(n+1)/2$ ограничений сохранения следа (54), мы получили $(n-1)(n+2)/2$ линейных ограничений (86). Они могут быть использованы вместо (83) и (84). Для $n=D$ оба набора эквивалентны. Когда по какой-либо причине они используются вместе, возможно появление избыточных ограничений (например, в унитарном случае $D=n$, где $N_{s}=1$). В таких случаях метод Гаусса сохраняет только $\mathrm{rank}\,C_{d;s,jk}$ из них. вариационное подпространство $b_{s,jk}$. Все $C_{d;s,jk}$ вычисляются из $b_{s,jk}$, подобно вычислению множителей Лагранжа в Приложении A.4. Наш алгоритм использует в качестве итерационного состояния не пару: аппроксимация, множители Лагранжа $(b_{s,jk},\{\lambda_{ij},\nu_{ss^{\prime}}\})$, а тройку: аппроксимация, множители Лагранжа, однородные линейные ограничения: $(b_{s,jk},\{\lambda_{ij},\nu_{ss^{\prime}}\},C_{d;s,jk})$; именно сами линейные ограничения обеспечивают сходимость алгоритма — текущая работа и предыдущие Belov and Malyshkin 2024 результаты показывают их критическую важность.

Appendix B Уравнение, подобное уравнению Шрёдингера, зависящее от времени

Сформулированная новая алгебраическая задача (43) является обобщением задачи на собственные значения (не зависящее от времени уравнение Шрёдингера). Возникает вопрос относительно обобщения (43) до зависящей от времени формы. Рассмотрим уравнение

$$i\hbar\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial t} =S\mathcal{U}$$ (87)

где супероператор $S$ является эрмитовым тензором $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ и $\mathcal{U}$ является унитарным оператором $u_{jk}$, где $D=n$. Это уравнение отличается от динамического уравнения для матрицы плотности

$$i\hbar\frac{\partial\rho}{\partial t}=\mathcal{L}\rho$$ (88)

где оператор Лиувилля $\mathcal{L}\rho=H\rho-\rho H$. Это уравнение имеет эрмитову матрицу плотности $\rho$ в качестве своего решения. Различие возникает из того факта, что операторы $\mathcal{L}$ и $S$ имеют совершенно разные структуры, и решение $\mathcal{U}$ теперь является унитарным оператором, а не эрмитовой матрицей $\rho$. Мы можем, однако, использовать переход от уравнения Шрёдингера для волновой функции к уравнению Liouville – von Neumann матрицы плотности (88) для построения уравнения для суперматрицы плотности $\Upsilon$, которая представляет тензор плотности. Матрица плотности является выпуклой комбинацией чистых состояний (Ур. 39); это приводит к переходу от вектора $\Ket{\psi}$ размерности $n$ к эрмитовой матрице $\rho$ размерности $n\times n$. Аналогичным образом рассмотрим выпуклую комбинацию унитарных каналов

$$\Upsilon =\sum\limits_{s=0}^{Dn-1}P^{[s]}\Ket{\mathcal{U}^{[s]}}\Bra{\mathcal{U}^{[s]}}$$ (89)

Это приводит к переходу от унитарной матрицы $D\times n$ $\mathcal{U}$ (где $D=n$) к тензору плотности $Dn\times Dn$ $\Upsilon$, который имеет ту же структуру, что и эрмитов тензор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$. Общий квантовый канал описывается тензором плотности $\Upsilon$. Затем, аналогично уравнению (88), мы можем предположить, что $\Upsilon$ удовлетворяет собственному уравнению Лиувилля

$$i\hbar\frac{\partial\Upsilon}{\partial t}=\mathcal{L}\Upsilon$$ (90)

Уравнение (90) аналогично уравнению (88), но описывает динамику, в которой унитарный оператор $\mathcal{U}$ заменяет векторную волновую функцию $\Ket{\psi}$, а тензор плотности $\Upsilon$ заменяет матрицу плотности $\rho$. Конкретная форма оператора $\mathcal{L}$ требует дальнейшего исследования; первой формой для рассмотрения является, очевидно,

$$\mathcal{L}\Upsilon =S\Upsilon-\Upsilon S$$ (91)

Коммутатор возможен, поскольку $S$ и $\Upsilon$ имеют одинаковую тензорную структуру. Эта форма, однако, отличается от обычной динамики матрицы плотности. Для чистого суперсостояния $\Upsilon=\Ket{\mathcal{U}}\Bra{\mathcal{U}}$, где $\mathcal{U}$ является решением (43), $\mathcal{L}\Upsilon$ из (91) не равно нулю: $(\mathcal{L}\Upsilon)_{ik;jq}=\sum_{j^{\prime}=0}^{D-1}\lambda_{ij^{\prime}}u_{j^{\prime}k}u^{*}_{jq}-\sum_{j^{\prime}=0}^{D-1}u_{ik}u^{*}_{j^{\prime}q}\lambda^{*}_{jj^{\prime}}$. Эта проблема не возникает в обычной динамике матрицы плотности, где для собственного вектора гамильтониана $\Ket{\psi}$ матрица плотности $\rho=\Ket{\psi}\Bra{\psi}$ удовлетворяет $0=H\rho-\rho H$.

Если тензор $\Upsilon_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ известен только в матричной форме, разложение (89) может быть получено путем применения иерархической конструкции из раздела IV к $\Upsilon_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$. Заметим, что к операторам $\mathcal{U}^{[s]}$ в (89) могут быть применены различные ограничения ортогональности. Например, ограничение (44b) может быть использовано вместо (45), которое ранее применялось в разделе IV. Операторы $\mathcal{U}^{[s]}$ в (89) тогда удовлетворяют условию ортогональности типа «знаменателя» (44b⟧)

$$D\delta_{ss^{\prime}} =\Braket{\mathcal{U}^{[s]}|\mathcal{U}^{[s^{\prime}]}}$$ (92)

Мы отложим изучение уравнения для тензора плотности $\Upsilon$ до будущих исследований и сосредоточимся здесь на простом примере временной эволюции основного состояния из уравнения (87). Это уравнение является обобщением уравнения Шрёдингера из векторного пространства волновых функций на пространство унитарных операторов. Само уравнение Шрёдингера может быть выведено из броуновского движения, информации Фишера, уравнения Гамильтона-Якоби и различных других подходов к прямым задачам (см. ссылки [21-34] в Efthimiades 2024). Наше уравнение (87), вероятно, может быть выведено из различных обратных задач.

Рассмотрим стационарное решение основного состояния (87), соответствующее $\mathcal{U}^{[0]}$, то есть полученное путем максимизации точности $\mathcal{F}$ без использования ограничений из (45). Это решение, представленное матрицей $u^{[0]}_{jk}$, удовлетворяет (43) с некоторым $\lambda^{[0]}_{ij}$. Матрица $\lambda^{[0]}_{ij}$ является эрмитовой, но не обязательно диагональной. Перейдем к базису, в котором $\lambda^{[0]}_{ij}$ является диагональной. Рассмотрим базис собственных векторов $\lambda_{ij}$

$$\sum\limits_{j=0}^{D-1}\lambda_{ij}\beta^{[p]}_{j} =\lambda^{[p]}\beta^{[p]}_{i}$$ (93)

Затем, если мы сформулируем исходную задачу (43) в базисе

$$v_{pk} =\sum\limits_{j=0}^{D-1}\beta^{[p]}_{j}u_{jk}$$ (94)

полученное решение есть $v^{[0]}_{pk}$, а соответствующая $\lambda_{pp^{\prime}}$ является диагональной с диагональными элементами, равными собственным значениям $\lambda^{[p]}$ в (93). Мы рассматривали аналогичное преобразование базиса в Malyshkin 2022 (см. Приложение А.2 там же, «Об итерационном шаге без использования SVD»), где $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ и $u_{jk}$ преобразуются между базисами с целью улучшения сходимости алгоритма. Однако позже Belov and Malyshkin 2024 мы нашли алгоритм, который обеспечивает сходимость в любом базисе. Здесь это преобразование выполняется исключительно для получения множителей Лагранжа $\lambda_{ij}$ (82) в диагональной форме, что необходимо для нахождения решения стационарного состояния зависящего от времени уравнения (87). Таким образом, без потери общности, $\lambda_{ij}$ можно считать диагональной; в противном случае базис исходной задачи должен быть изменен на (94⟧).

Давайте также перепишем (87) путем замены $S$ на $\lambda_{jj^{\prime}}\delta_{kk^{\prime}}$, и будем называть это $S$ одногамильтоновым приближением.

$$S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}} \approx\lambda_{jj^{\prime}}\delta_{kk^{\prime}}$$ (95)

В этом приближении общий $S$, который охватывает множество различных гамильтонианов, заменяется формой, содержащей только один гамильтониан $\lambda$, обычно соответствующий основному состоянию. Максимальная точность $\mathcal{F}=\Braket{\mathcal{U}|\lambda|\mathcal{U}}=\mathrm{Tr}\lambda$ затем сохраняется для произвольного унитарного оператора $\mathcal{U}$, а не только для решения уравнения в основном состоянии (43). При фокусировке исключительно на квантовом канале основного состояния динамическое уравнение (87) принимает вид

$$i\hbar\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial t} =\lambda\mathcal{U}$$ (96)

Это уравнение подобно уравнению Шрёдингера с гамильтонианом $\lambda$, где все возможные решения охвачены в $\mathcal{U}$. Уравнение описывает одновременную временную эволюцию всех возможных решений. Полный супероператор $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ содержит множество гамильтонианов. Для каждого решения (43) матрицу множителей Лагранжа $\lambda$ можно рассматривать как гамильтониан некоторой квантовой системы. Для случая, когда $u_{pk}$ является решением в основном состоянии $u^{[0]}_{pk}$ для (43), а $\lambda_{pj}$ является диагональным $\lambda^{[p]}\delta_{pj}$, зависящее от времени решение для него имеет вид

$$u_{pk}(t) =\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\lambda^{[p]}t\right)u_{pk}(t=0)$$ (97)

Это можно рассматривать как $u_{p*}$ векторов, каждый из которых эволюционирует со своей собственной фазой $\exp\left(-it\lambda^{[p]}/\hbar\right)$. Если мы рассмотрим оператор $u_{pk}$ как $D$ «волновые функции» $u_{p*}$ размерности $n$, то каждая из них эволюционирует со своей собственной «энергией» $\lambda^{[p]}$. Это представляет собой временную эволюцию решения основного состояния (43). Отличие от традиционной квантовой механики заключается в том, что основное состояние $u_{pk}$ теперь содержит несколько векторов, каждый из которых эволюционирует со своим собственным экспоненциальным множителем $\lambda^{[p]}$. Тензор плотности, соответствующий основному состоянию, имеет вид

$$\left(\Ket{\mathcal{U}}\Bra{\mathcal{U}}\right)_{pk;p^{\prime}k^{\prime}}(t)=$$ (98)

$$\quad\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\left(\lambda^{[p]}-\lambda^{[p^{\prime}]}\right)t\right)u_{pk}(t=0)u^{*}_{p^{\prime}k^{\prime}}(t=0)$$

В отличие от матрицы плотности основного состояния традиционной квантовой системы, которая не зависит от времени, этот тензор плотности имеет только диагональные элементы, $p=p^{\prime}$, которые не зависят от времени. Это объясняет, почему (91) не равно нулю для чистого суперсостояния $\Upsilon=\Ket{\mathcal{U}}\Bra{\mathcal{U}}$, где $\mathcal{U}$ является решением (43).

Уравнение типа heat transfer может быть получено путем удаления мнимой единицы $i$ из (87), что приводит к $\varkappa\partial\mathcal{U}/\partial t=S\mathcal{U}$. В этом случае решение (97) приводит к экспоненциально растущему или затухающему $u_{pk}(t)$⟧.

Временная эволюция суперпозиции двух решений является более сложной по сравнению с уравнением Шрёдингера. Для уравнения Шрёдингера суперпозиция двух собственных состояний $a\psi^{[0]}+b\psi^{[1]}$ гамильтониана эволюционирует во времени как $a\psi^{[0]}\exp\left(-itE_{0}/\hbar\right)+b\psi^{[1]}\exp\left(-itE_{1}/\hbar\right)$. В то же время, если мы рассмотрим суперпозицию двух решений $au^{[0]}_{jk}+bu^{[1]}_{jk}$ уравнения (43), результат может не быть унитарным. Нарушение унитарности, возникающее в результате такой суперпозиции, имеет глубокий физический смысл. Подобная суперпозиция не описывает физическое состояние и, следовательно, не должна рассматриваться. Надлежащим обобщением является введение суперматрицы плотности $\Upsilon$ (89), которая описывает смешанный тип состояния..

Еще одной особенностью, которая может различаться между волновыми функциями и квантовыми каналами, являются правила разрушения состояния после измерения. В традиционной квантовой механике состояние $\Ket{\psi}$ разрушается (по крайней мере частично) после акта измерения $\Braket{\psi|R|\psi}$. Напротив, измерение $\Braket{\mathcal{U}|R|\mathcal{U}}$ включает квантовый канал $\mathcal{U}$ в качестве состояния. Правила разрушения состояния после измерения для квантового канала $\mathcal{U}$ остаются открытым вопросом. Возможно, что эти правила различаются для волновых функций и квантовых каналов. Очень важным вопросом является то, что представляет собой измеримая единица в динамике квантовых каналов: является ли она скаляром или эрмитовой матрицей? Поскольку соответствующая алгебраическая задача (43) имеет в качестве своего спектра собственные матрицы, а не обычные собственные значения (скаляры), мы склонны полагать, что единицей измерения является эрмитова матрица. Поскольку энергия основного состояния квантовой системы может быть получена в результате единичного акта измерения, одиночное измерение квантового канала потенциально может предоставить гамильтониан $\lambda^{[0]}$, соответствующий решению (43) с максимальной точностью..

По этим причинам мы оставим подробное рассмотрение зависящих от времени уравнений (87) и (90) для будущих исследований и ограничимся временной эволюцией (97) основного состояния, которая соответствует каждому вектору $u_{p*}$, эволюционирующему со своей собственной «энергией» $\lambda^{[p]}$. Общая точность равна сумме всех $\lambda^{[p]}$, а основное состояние — это состояние с максимальной общей точностью. Решение для основного состояния соответствует унитарному оператору $\mathcal{U}(t)$, который сам по себе зависит от времени (97⟧).

Appendix C Параметризация состояний с памятью при помощи контура обратной связи

В этой и предыдущих работах мы рассматривали memoryless quantum channel, описываемый набором операторов Крауса $B_{s}$ или, в простейшем случае, когда $N_{s}=1$, единичным унитарным оператором $\mathcal{U}$. Возникает вопрос о том, как в модель можно внедрить память. Моделирование системы даже с одним битом внутреннего состояния является сложной задачей, см. Приложение H в Malyshkin 2019, где мы обсуждаем проблему моделирования synchronous positive-edge-triggered D flip-flop (D-триггера) с помощью ML. Любая память может быть представлена в виде петли обратной связи, как это видно, например, в D-триггере или recurrent neural network. Вопрос заключается в том, как внедрить память в квантовый канал (3), описываемый оператором $\mathcal{U}$? Для чистых состояний канал преобразует входное состояние $\Ket{\psi}$ в выходное состояние $\Ket{\mathcal{U}|\psi}$. Предположим, что существует петля обратной связи, которая требует, чтобы некоторые (но не все) компоненты выходного состояния были равны (с точностью до фазы) тем же компонентам входного состояния.

$$\psi^{[i]}_{\{k\}}=\lambda^{[i]}\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_{\{k\}k}\psi^{[i]}_{k}$$ (99)

Здесь $\{k\}$ обозначает эти выбранные «обратносвязанные» компоненты. Если $\{k\}$ является пустым множеством, мы получаем задачу, которую рассматривали в Belov and Malyshkin 2024. Если $\{k\}$ включает все $n$ компоненты — то (99) становится обычной задачей на собственные значения, где $\lambda$ является $\exp(i\zeta)$ (или $\pm 1$ для ортогонального $u_{jk}$). В этом случае задача не имеет входных данных, а внутреннее состояние может быть представлено как суперпозиция $n$ собственных состояний задачи на собственные значения (99). Теперь рассмотрим $\{k\}$ как подмножество $0\dots n-1$ индексов с общим количеством $n_{m}$ элементов. Тогда задача (99) представляет собой задачу, подобную задаче на собственные значения, размерности $n_{m}$, $i=0\dots n_{m}-1$, где «собственный вектор» $\Ket{\psi^{[i]}}$ (всего их $n_{m}$) имеет $n-n_{m}$ компонентов, заданных извне, и $n_{m}$ компонентов, являющихся внутренним состоянием. Эта задача на «частичные собственные значения» (99) является простым способом представления квантового канала с внутренним состоянием (памятью). Заданное состояние $\Ket{\psi}$ имеет $n-n_{m}$ свободных компонентов (вход) и $n_{m}$ компонентов внутреннего состояния. Изменение входных компонентов может потенциально вызвать изменения во внутреннем состоянии. Изучение унитарных квантовых каналов с внутренними состояниями является предметом наших будущих исследований.

Другое применение этих «обратносвязанных» состояний унитарного оператора относится к задаче факторизации целых чисел. Целое число может быть закодировано в состояние $\Ket{\psi}$, а умножение целого числа по модулю $N$ на число $a$ может быть представлено как унитарное преобразование $\mathcal{U}$. В алгоритме Шора Shor 1999, основной шаг при разложении числа $N$ на простые множители включает нахождение периода $r$

$$a^{r}\equiv 1{\bmod{N}}$$ (100)

Если умножение на $a$ закодировано как унитарное преобразование $\mathcal{U}$, действующее на состояние $\Ket{\psi}$, то задачу (100) можно сформулировать как поиск такого $r$, при котором $\Ket{\mathcal{U}^{r}|\psi_{0}}$ равно начальному состоянию $\Ket{\psi_{0}}$ с точностью до фазового множителя. Это похоже на концепцию контура обратной связи, показанную в (99). Например, если бы мы смогли построить реальную квантовую систему с гамильтонианом

$$H =i\frac{\hbar}{\tau}\ln\mathcal{U}$$ (101)

и начальное состояние $\Ket{\psi^{(t=0)}}=\Ket{\psi_{0}}$ затем, поскольку временная эволюция системы

$$U =\exp\left[-i\frac{t}{\hbar}H\right]$$ (102)

$$\Ket{\psi^{(t)}} =\Ket{U\middle|\psi^{(t=0)}}$$ (103)

вычисление $r$ может быть сведено к простому наблюдению за квантовой системой (101) с $\mathcal{U}=U(t=\tau)$ в моменты времени $t=\tau l$ и ожиданию, пока $\Ket{\psi^{(t=\tau l)}}$ не совпадет с $\Ket{\psi_{0}}$ с точностью до фазы. Индекс $l$ этого момента времени дает период $r$. Для данной квантовой системы «больцмановское время» спонтанного возврата к точному начальному состоянию обеспечивает искомый период $r$.

Appendix D Оценка вычислительной сложности

Описанный класс алгоритмов решает задачи QCQP, возникающие при максимизации квадратичной точности при наличии квадратичных ограничений на операторы отображения (например, унитарности). Эта задача эквивалентна алгебраической задаче; например, в случае унитарного обучения она соответствует алгебраической задаче (43), первоначально представленной в Malyshkin 2019. Это представляет собой простейшую задачу данного типа. В общем случае это новая алгебраическая задача размерности $N_{s}Dn$. Она может быть решена численно с помощью итерационного алгоритма, который на каждой итерации заменяет $N_{c}$ квадратичных ограничений на $N_{c}-1$ однородных линейных ограничений и одно квадратичное ограничение (26), называемое упрощенным (частичным) ограничением, см. Приложение A.5 выше. Поскольку задача QCQP с одним квадратичным ограничением эквивалентна задаче на собственные значения, к задаче размерности $N_{V}=N_{s}Dn-N_{c}+1$ применяется стандартный решатель задач на собственные значения, это шаг 1 алгоритма. Как обсуждалось в Приложении B работы Belov and Malyshkin 2024, это наиболее вычислительно затратный шаг. Его вычислительная сложность в случае унитарного обучения ($D=n$, $N_{s}=1$) включает решение задачи на собственные значения с матрицей размерности $N_{V}=n^{2}-n(n+1)/2+1$. Эту сложность можно оценить как $O(n^{4})$ при использовании специализированного решателя, оптимизированного для поиска только максимального собственного значения, и $O(n^{6})$ при использовании решателя общего назначения. Наша текущая реализация Malyshkin 2014 использует решатель задач на собственные значения общего назначения..

Сравним вычислительную сложность этого «алгебраического» алгоритма со сложностью алгоритмов «математического анализа»: метода Ньютона второго порядка и градиентного метода первого порядка. Унитарная матрица размерности $n$ может быть полностью параметризована с помощью $N=n(n+1)/2$ параметров. Параметров на $n$ меньше, если нам не нужны неизмеряемые фазы. Количество параметров всегда больше или равно $n(n-1)/2$ (например, углы Эйлера), см. (97), что дает зависящий от времени унитарный оператор основного состояния $\mathcal{U}(t)$ такой, что в каждый момент времени $t$ матрица $\mathcal{U}$ дает максимальное значение точности $\mathcal{F}$ (27). Сложность классического метода Ньютона для нелинейных систем из $N$ уравнений составляет $O(N_{it}N^{3})$, так как на каждой итерации необходимо решать линейную систему. Некоторые приемы, такие как обновление якобиана только один раз за $m$ итераций, могут снизить сложность до $O(N_{it}N^{2}+N_{it}N^{3}/m)$. Поскольку количество итераций $N_{it}$ для метода Ньютона часто не зависит от $N$, практическую сложность алгоритма метода Ньютона можно оценить как находящуюся в диапазоне от $O(n^{4})$ до $O(n^{6})$,77 7 Если все $M$ наблюдений не объединены в единую сущность, такую как $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$, то сложность может варьироваться от $O(Mn^{4})$ до $O(Mn^{6})$, что значительно ухудшает результат. в зависимости от стратегии обновления якобиана. Хотя вычислительная сложность предложенного алгебраического алгоритма сопоставима со сложностью метода Ньютона второго порядка, использование обобщенной задачи на собственные значения в качестве базового блока алгоритма дает преимущество получения нескольких кандидатов в решения (собственных векторов). Численные экспериментыBelov and Malyshkin 2024 демонстрируют, что это значительно увеличивает шансы на нахождение глобального максимума.

Вычислительная сложность градиентного метода в общем случае составляет $O(N_{it}MN)$. Если $M$-сумму можно вынести за скобки целевого функционала (например, в форму вида (27)), сложность снижается до $O(N_{it}N^{2})=O(N_{it}n^{4})$. Однако в градиентном методе количество итераций $N_{it}$ не гарантированно будет малым, как и не гарантирована сходимость алгоритма, особенно для задачи глобальной оптимизации, которая является невыпуклой, с локальными экстремумами и множественными седловыми точками.

Разработанный алгоритм демонстрирует вычислительную сложность, сопоставимую с методом Ньютона второго порядка и превышающую сложность градиентного метода первого порядка. Его главной особенностью является алгебраический подход, который позволяет построить глобально сходящийся алгоритм. Хотя у нас нет формального доказательства его сходимости, среди миллионов тестовых запусков лишь немногие не смогли сойтись к глобальному максимуму. В данной работе мы стремились решить практическую задачу, которую можно проверить с помощью классического компьютера. Рассмотрим сценарий, в котором у нас есть входные данные (например, в виде файлов на диске), и мы пытаемся восстановить соответствующее квантовое отображение. Эта проблема часто возникает в ML для больших размерностей, как обсуждается в Arjovsky et al. 2016 и более чем в 1000 последующих статей, цитирующих её. В обозначениях представленной статьи типичные размерности задачи ML составляют $N_{s}=1$ и $D=n\sim 10^{3}$ или больше. Решение включает в себя форму унитарной параметризации Raza 2020, такую как представление унитарного оператора в виде последовательности элементарных вращений (например, углов Эйлера) и использование градиентного метода оптимизации. Полученное решение достигается в ходе этого процесса, но нет никакой гарантии, что оно соответствует глобальному максимуму. Нашим основным фокусом была разработка алгоритма, способного обеспечить решение, соответствующее глобальному максимуму. По этой причине мы рассмотрели точное унитарное отображение и стремились восстановить его по выборке, поэтому мы не включали шум или другие общие характеристики в наше исследование. Это крайне сложная невыпуклая задача, поскольку количество параметров растет квадратично с $n$ Andersson et al. 2007. Насколько нам известно, практические решения возможны только для малых $n$ (менее дюжины) или при специфических настройках Schäfers et al. 2024; Ahmed et al. 2023; Wang et al. 2024. В наших численных экспериментах по unitary learning размерность задачи, по-видимому, ограничена исключительно вычислительной сложностью. На каждом шаге итерации необходимо решать задачу на собственные значения размерности $N_{V}=n^{2}-n(n+1)/2+1$, причем требуется только собственное состояние, соответствующее наибольшему собственному значению. Учитывая масштабные глобальные усилия, направленные на разработку эффективных численных решателей для задач на собственные значения, мы ожидаем, что размерность задачи может быть значительно увеличена. Однако в настоящее время у нас нет доступа к аппаратному обеспечению, способному решать задачи на собственные значения для матриц размерностью более 1000. Нашей первоначальной целью было довести размерность задачи до точки, в которой точное восстановление ортогональных (вещественных унитарных) матриц стало бы невыполнимым. Тем не менее, вычислительные ограничения были достигнуты раньше. В наших экспериментах мы протестировали точное восстановление тысяч случайно сгенерированных ортогональных матриц с размерностями менее 50 (что соответствует размеру задачи на собственные значения 1226). Способность находить глобальный максимум остается наиболее значимой особенностью алгоритма..

Вычислительная сложность построения тензора $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ (19) была незначительной для унитарного отображения чистых состояний (1), обсуждавшегося в Belov and Malyshkin 2024. Однако для унитарного отображения (3) смешанных состояний (7), рассматриваемого в настоящей работе, получение точности в квадратичной форме требует преобразования отображения в отображение квадратного корня матрицы плотности (29). Это преобразование может значительно увеличить вычислительную сложность вычисления $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ (30). Использование задачи на собственные значения для вычисления квадратного корня матрицы потребовало бы решения $M$ задач на собственные значения с матрицами $\rho$ и $\varrho$, каждая из которых имеет размерность $n$, что приводит к сложности порядка $O(Mn^{3})$. Это не может быть сокращено, как в случае с QCQP выше, где требовался только один собственный вектор. Для квадратного корня матрицы плотности нам нужны все собственные векторы, и вычисление (30), вероятно, не может быть выполнено лучше, чем $O(Mn^{3})$. Множитель перед этим, однако, может быть уменьшен. Когда количество наблюдений $M$ велико, вместо использования обычного метода вычисления квадратного корня матрицы путем решения задачи на собственные значения (как в (71) и (78) выше), можно применить альтернативные методы для вычисления квадратного корня положительно определенной эрмитовой матрицы без решения задачи на собственные значения Björck 2024; Higham 1986. Эти подходы, как и задача на собственные значения, имеют доминирующую сложность $O(n^{3})$ для вычисления квадратного корня. Однако на практике это может значительно повысить вычислительную эффективность при создании отображения (29) из исходных данных (7). Несмотря на сложность вычисления $S_{jk;j^{\prime}k^{\prime}}$ для большого $M$, это не создает трудностей в приложениях, поскольку вычисления аналогичны тем, что используются, например, при вычислении ковариационной матрицы. Каждый компонент тензора представляет собой сумму по всем $M$ наблюдениям, и эта задача может быть тривиально распараллелена.

Общий случай Крауса, $N_{s}>1$, значительно сложнее, поскольку точность (16) как квадратичная форма может быть получена только в виде приближения. Однако, как только приближение получено, в общем случае требуется решение задачи на собственные значения размерности $N_{V}=N_{s}Dn-N_{c}+1$ на каждой итерации (шаг 1 алгоритма), при этом необходим только один собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению. Для общего квантового канала (4) нам не удалось построить сходящийся алгоритм, не говоря уже о возросшей вычислительной сложности (размерность задачи на собственные значения увеличивается в число раз, равное рангу Крауса). Однако, если ограничиться смешанными унитарными каналами (36), то этот тип квантового канала может быть реконструирован как иерархия унитарных операторов. С вычислительной точки зрения задача в разделе IV гораздо проще, чем реконструкция общего квантового канала. Вместо решения одной сложной задачи для общего квантового канала необходимо несколько раз решить задачу унитарного отображения. Численно нам удалось получить иерархию не более чем из $7$ операторов, что, вероятно, связано с субоптимальным алгоритмом разрешения конфликтов ограничений, используемым в приложении A.2. Результатом является смешанный унитарный канал (36). Однако, в отличие от случая $N_{s}=1$, для $N_{s}>1$ это лишь приближение, так как мы не смогли представить надлежащую точность (11) в виде квадратичной формы уравнения (16) по операторам Крауса $B_{s}$, когда $N_{s}>1$.