Модель выбора пакета товаров с эндогенными регрессорами: применение к налогу на газировку

Рассмотрим сценарий с двумя товарами, обозначенными как $j=1,2$. Каждый индивид $i=1,\ldots,N$ в момент времени $t=1,\ldots,T$ выбирает потребление не более одной единицы каждого товара. Косвенная полезность индивида от потребления каждого товара, $j=1,2$, составляет

$$\bar{u}_{ijt}=\alpha p_{ijt}+x_{ijt}^{\prime}\beta_{j}+\nu_{ijt},$$

(1)

где $p_{ijt}$ обозначает цену товара $j$, с которой сталкивается индивид $i$ в момент времени $t$. Цена взаимодействует с коэффициентом цены $\alpha$. Вектор $x_{ijt}$ включает ковариаты, связанные с индивидом $i$, товаром $j$ и временем $t$. Эти ковариаты могут содержать специфичные для товара константы, характеристики индивида и продукта, рыночную информацию и фиксированные эффекты. Параметр $\beta_{j}$ представляет собой вектор специфичных для товара параметров предпочтений. Структурная ошибка $\nu_{ijt}$ учитывает специфичные для товара ненаблюдаемые вкусы индивида $i$, которые могут меняться с течением времени. Важно отметить, что эти вкусы могут быть коррелированы между двумя товарами.

Выбор среди $\mathcal{R}=\{0,1,2,(1,2)\}$ товаров определяет 4 варианта выбора, обозначаемых как $r=0$. $r=(1,2)$ представляет собой альтернативный вариант отказа от потребления любого из товаров, а $r\in\mathcal{R}$ — выбор совместного потребления обоих товаров. Полезность, которую индивид получает от потребления набора ⟦BROKEN_K4⟧, задается формулой

	$\displaystyle u_{i1t}$	$\displaystyle=\bar{u}_{i1t}+\epsilon_{i1t},$
	$\displaystyle u_{i2t}$	$\displaystyle=\bar{u}_{i2t}+\epsilon_{i2t},$
	$\displaystyle u_{i(1,2)r}$	$\displaystyle=\bar{u}_{i1t}+\bar{u}_{i2t}+\Gamma_{(1,2)}+\epsilon_{i(1,2)t},$		(2)

где $\epsilon_{irt}$ обозначают идиосинкратические ошибки или независимые и одинаково распределенные шоки полезности. Полезность для внешней альтернативы нормирована так, чтобы содержать только член ошибки, то есть $u_{i0r}=\epsilon_{i0t}$, поскольку абсолютные уровни полезности не идентифицируемы. Пусть идиосинкратические шоки полезности подчиняются стандартному нормальному распределению, обозначаемому как $\epsilon_{irt}\sim\mathcal{N}(0,1)$ для $r\in\mathcal{R}$. Это приводит к модели мультиномиального пробита (MNP).

Параметр эффектов набора $\Gamma_{(1,2)}$ представляет собой дополнительную полезность (или дезутилитарность) от совместного потребления товаров 1 и 2. Он отражает взаимозаменяемость и взаимодополняемость между товарами. Gentzkow, (2007) показывает, что два товара являются комплементами, если $\Gamma>0$, субститутами, если $\Gamma<0$, или независимыми, если $\Gamma=0$, с точки зрения перекрестной ценовой эластичности спроса по Хиксу. Кроме того, $\Gamma$ также может отражать издержки на шопинг и предпочтение разнообразия, которые приводят к тому, что индивиды приобретают различные товары в течение периода времени (Iaria and Wang,, 2020).

Как и в стандартных моделях случайной полезности, наблюдаемый выбор $y_{it}$ определяется наибольшей скрытой полезностью как $y_{it}=\arg\max_{r}(u_{irt})$. Распределение ошибок приводит к вероятности выбора:

$$\Pr(y_{it}=r)=\int_{u_{irt}>\{u_{i,-r,t}\}}dF(\epsilon).$$

Здесь $u_{i,-r,t}$ вместе с $-r\in\mathcal{R}\backslash r$ представляет собой латентные полезности для невыбранных наборов, а $F(\epsilon)$ — это функция кумулятивного распределения идиосинкразических ошибок. Диапазон интеграла может быть выражен через $\epsilon_{irt}$ в соответствии с уравнением (2). Например, когда выбран товар 1, то есть $y_{it}=1$, диапазон интеграла может быть записан как область внутри носителя совместного распределения $F(\epsilon_{i0t},\epsilon_{i1t},\epsilon_{i2t},\epsilon_{i(1,2)t})$, как показано ниже:

$$\epsilon_{i1t}-\epsilon_{i0t}>-\bar{u}_{i1t}\quad\text{and }\epsilon_{i1t}-\epsilon_{i2t}>-\bar{u}_{i1t}+\bar{u}_{i2t}\quad\text{and }\epsilon_{i1t}-\epsilon_{i(1,2)t}>\bar{u}_{i2t}+\Gamma_{1,2}.$$

На практике я использую метод байесовского дополнения данных, чтобы избежать необходимости вычисления многомерных интегралов для расчета вероятностей выбора.

Корреляция между ненаблюдаемыми вкусами (структурными ошибками) $\nu_{i1t}$ и $\nu_{i2t}$ играет ключевую концептуальную роль в идентификации эффектов набора $\Gamma_{(1,2)}$ и, как следствие, в оценке комплементарности. Наблюдаемое одновременное использование двух товаров может быть обусловлено либо истинной комплементарностью между ними ($\Gamma_{(1,2)}>0$), либо положительной корреляцией вкусов ($\text{corr}(\nu_{i1t},\nu_{i2t})>0$). Разграничение эффектов набора и этой (ненаблюдаемой) корреляции вкусов представляет собой центральную задачу моделирования и идентификации в моделях спроса на наборы. Как отмечают Gentzkow, (2007), неучет возможных корреляций в косвенных функциях полезности наборов, содержащих пересекающиеся продукты, может привести к идентификации ложных эффектов набора и комплементарности.

Эндогенность обычно относится к ситуациям, в которых наблюдаемые регрессоры коррелируют с членами ошибки из-за пропущенных переменных или одновременности. Классическим примером в моделях выбора является эндогенность цены, которая возникает из-за ненаблюдаемых характеристик продукта (Berry et al.,, 1995; Nevo,, 2000). В этом подразделе также используется эндогенная цена в качестве примера для расширения модели с целью учета эндогенных регрессоров.

Рассмотрим цену $p_{ijt}$, с которой сталкивается индивид $i$ в момент времени $t$. Данная модель допускает различия в ценах для разных индивидов, что является распространенным явлением в данных на индивидуальном уровне из-за вариаций в потребительских корзинах, скидках по членству, оптовых скидках, торгах и по другим причинам..

Эндогенная цена $p_{ijt}$ для каждого товара $j=1,2$ моделируется с помощью уравнения «первого этапа»:

$$p_{ijt}={z_{ijt}^{p}}^{\prime}\theta^{p}_{j}+\nu^{p}_{ijt}+\epsilon_{ijt}^{p},$$

(3)

где $z_{ijt}^{p}$ содержит набор инструментальных переменных, который также включает экзогенные ковариаты в уравнениях полезности (структурных уравнениях). $\theta_{j}^{p}$ представляет собой вектор параметров, подлежащих оцениванию. Эндогенность возникает из-за корреляции между структурными ошибками $\nu_{ijt}^{p}$ и $\nu_{ijt}$ из приведенной формы и структурных уравнений соответственно. Эта связь вызывает корреляцию между эндогенной ценой $p_{ijt}$ и ненаблюдаемыми характеристиками $\nu_{ijt}$. Эквивалентно мы могли бы считать, что ненаблюдаемые факторы смешения, которые определяют как цены, так и полезность, улавливаются структурными ошибками $\nu_{ijt}^{p}$ и $\nu_{ijt}$. Этот подход согласуется с байесовской обработкой инструментальных переменных в линейных моделях (Rossi et al.,, 2012). Моделирование и идентификация этих корреляций ошибок имеют решающее значение для устранения эндогенности — проблемы, тесно связанной с ненаблюдаемыми вкусами в базовой модели..

Корреляции ошибок играют важную роль в выявлении комплементарности при наличии эндогенных регрессоров. Чтобы закрепить этот тезис, я определяю совместные ошибки $\varepsilon$ как суммы структурных ошибок $\nu$ и идиосинкразических ошибок $\epsilon$ в уравнениях полезности бандла (2) (подставляя уравнение полезности блага (1)) и уравнениях первого этапа (3). Идиосинкразическая ошибка только для внешней опции $u_{i0t}=\epsilon_{i0t}$ опускается.

$$\varepsilon_{it}=\begin{pmatrix}\varepsilon_{i1t}\\ \varepsilon_{i2t}\\ \varepsilon_{i(1,2)r}\\ \varepsilon^{p}_{i1t}\\ \varepsilon^{p}_{i2t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\nu_{i1t}+\epsilon_{i1t}\\ \nu_{i2t}+\epsilon_{i2t}\\ \nu_{i1t}+\nu_{i2t}+\epsilon_{i(1,2)t}\\ \nu^{p}_{i1t}+\epsilon^{p}_{i1t}\\ \nu^{p}_{i2t}+\epsilon^{p}_{i2t}\end{pmatrix}=I_{\nu}\nu_{it}+\epsilon_{it},$$

(4)

где

$$I_{\nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad\nu_{it}=\begin{pmatrix}\nu_{i1t}\\ \nu_{i2t}\\ \nu^{p}_{i1t}\\ \nu^{p}_{i2t}\end{pmatrix},\qquad\epsilon_{it}=\begin{pmatrix}\epsilon_{i1t}\\ \epsilon_{i2t}\\ \epsilon_{i(1,2)t}\\ \epsilon^{p}_{i1t}\\ \epsilon^{p}_{i2t}\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_{5}),$$

и $\mathbf{I}_{5}$ обозначает единичную матрицу размерности 5.

Для оценки комплементарности (эффектов набора $\Gamma_{(1,2)}$) необходимо учесть корреляцию ошибок $\text{corr}(\nu_{i1t},\nu_{i2t})$. Gentzkow, (2007) и Sovinsky et al., (2024) решают эту проблему с помощью случайных эффектов. Их модели предполагают, что вектор ненаблюдаемых вкусов инвариантен во времени и подчиняется многомерному нормальному распределению $(\nu_{i1},\nu_{i2},\ldots)^{\prime}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Sigma)$ с полной ковариационной матрицей $\Sigma$, отражающей корреляцию. Deza, (2015) моделирует ненаблюдаемые вкусы с помощью модели латентных классов, где корреляции вкусов улавливаются специфическими для классов константами. Аналогичным образом, работа с эндогенными регрессорами включает моделирование корреляций ошибок, $\text{corr}(\nu_{i1t},\nu_{i1t}^{p})$ и $\text{corr}(\nu_{i2t},\nu_{i2t}^{p})$. Стандартные Bayesian подходы используют двумерное нормальное распределение (Rossi et al.,, 2012) или смесь двумерных нормальных распределений (Conley et al.,, 2008) для моделирования ошибок на первом этапе и в структурных уравнениях.

Существующие подходы в значительной степени опираются на многомерные (преимущественно гауссовские) предположения о распределении при моделировании ошибок. Однако эти устоявшиеся методы сталкиваются с трудностями в текущем контексте. Во-первых, количество параметров в полной ковариационной матрице растет экспоненциально с увеличением числа товаров и эндогенных регрессоров. Хотя упомянутые ранее модели учитывают корреляции ошибок, возникающие либо из-за корреляции предпочтений, либо из-за эндогенности, они не решают обе проблемы одновременно. В отличие от них, модель, представленная в данной статье, учитывает корреляции ошибок, вызванные обоими источниками, что приводит к корреляциям более высокой размерности. Например, при $J=6$ товарах и равном количестве эндогенных регрессоров (цен), $J_{p}=6$, полная ковариационная матрица $\Sigma$ для инвариантных во времени случайных эффектов содержала бы 78 параметров. Идентификация большой ковариационной матрицы создает практические сложности. Более того, большинство существующих моделей являются кросс-секционными, например Sovinsky et al., (2024), Rossi et al., (2012) и Conley et al., (2008). Для панельных моделей, таких как Gentzkow, (2007) и Deza, (2015), не наблюдаемые предпочтения остаются инвариантными во времени, то есть $\nu_{ij}$. В отличие от них, представленная здесь модель, сформулированная для панельных данных, допускает изменение не наблюдаемых предпочтений во времени, $\nu_{ijt}$. Эта дополнительная гибкость приводит к увеличению пространства параметров. Рассмотрим тот же пример с $J=J_{p}=6$, но теперь за $T=12$ периодов времени. Модель со случайными эффектами, изменяющимися во времени, без какой-либо специфической структуры включала бы 10 440 параметров дисперсии и ковариации..

Для решения проблем в рамках единого подхода я использую факторный подход для моделирования структурных ошибок $\nu_{it}$ следующим образом:

$$\nu_{it}=\left(\nu_{i1t},\nu_{i2t},\nu_{i1t}^{p},\nu_{i2t}^{p}\right)^{\prime}=\Lambda_{t}f_{i},$$

где $\Lambda_{t}$ представляет собой матрицу факторных нагрузок размера $4$ на $L$, а $f_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_{L})$ представляет собой $L$-на-$1$ вектор независимых факторов с нулевыми средними и единичной ковариационной матрицей размерности $L$. Совместные ошибки, определенные в уравнении (4), теперь принимают вид $\varepsilon_{it}=I_{\nu}\Lambda_{t}f_{i}+\epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{it})$ с разложением ковариации

$$\Omega_{it}=I_{\nu}\Lambda_{t}\Lambda_{t}^{\prime}I_{\nu}^{\prime}+\mathbf{I}_{5}.$$

(5)

Чтобы проиллюстрировать, как факторная структура учитывает ключевые корреляции ошибок, рассмотрим пример с тремя факторами ($L=3$), представленный ниже:

$$\nu_{it}=\begin{pmatrix}\nu_{i1t}\\ \nu_{i2t}\\ \nu^{p}_{i1t}\\ \nu^{p}_{i2t}\end{pmatrix}=\Lambda_{t}f_{i},\quad\text{with }\Lambda_{t}=\begin{pmatrix}\lambda_{11t}&\lambda_{12t}&0\\ \lambda_{21t}&0&\lambda_{23t}\\ 0&\lambda_{32t}&0\\ 0&0&\lambda_{43t}\end{pmatrix}\text{ and }f_{i}=\begin{pmatrix}f_{i1}\\ f_{i2}\\ f_{i3}\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_{3}).$$

(6)

В этой спецификации три латентных фактора учитывают корреляцию вкусов и ненаблюдаемые конфаундеры цены и полезности для товаров 1 и 2 соответственно. Ковариационная матрица $\Omega_{it}$ совместных ошибок $\varepsilon_{it}$, определенных в уравнении (5), имеет следующий вид:

$$\Omega_{it}=\begin{pmatrix}\lambda_{11t}^{2}+\lambda_{12t}^{2}+1&&&&\\ \lambda_{11t}\lambda_{21t}&\lambda_{21t}^{2}+\lambda_{23t}^{2}+1&&&\\ \lambda_{11t}^{2}+\lambda_{11t}\lambda_{21t}+\lambda_{12t}^{2}&\lambda_{11t}\lambda_{21t}+\lambda_{21t}^{2}+\lambda_{23t}^{2}&(\lambda_{11t}+\lambda_{21t})^{2}+\lambda_{12t}^{2}+\lambda_{23t}^{2}+1&&\\ \lambda_{12t}\lambda_{32t}&0&\lambda_{12t}\lambda_{32t}&\lambda_{32t}^{2}+1\\ 0&\lambda_{23t}\lambda_{43t}&\lambda_{23t}\lambda_{43t}&0&\lambda_{43t}^{2}+1\end{pmatrix}.$$

Член $\lambda_{11t}\lambda_{21t}$ отражает корреляцию между ненаблюдаемыми предпочтениями в отношении товаров 1 и 2. Члены $\lambda_{12}\lambda_{p12}$ и $\lambda_{23}\lambda_{p23}$ отражают корреляции ошибок, возникающие вследствие эндогенности цен..

Факторный подход представляет собой гибкий и компактный метод моделирования корреляций, возникающих вследствие эндогенности, между вариантами выбора и во временных периодах. В приведенном выше примере модель случайных эффектов, инвариантная во времени, с полной ковариационной матрицей для структурных ошибок $\nu_{it}$ потребовала бы 10 параметров. В то время как факторная структура моделирует эти корреляции более компактно, с помощью 6 параметров. Этот метод находит применение в различных моделях, таких как оценка причинно-следственного эффекта эндогенного бинарного воздействия на коррелированные панельные исходы (Jacobi et al.,, 2016; Wagner et al.,, 2023), а также при моделировании корреляций ошибок (предпочтений) в multinomial probit model (Loaiza-Maya and Nibbering,, 2022). Jacobi et al., (2024) вводят факторный подход в модель bundle demand для пространственной выборки с эндогенностью набора вариантов выбора. В данной статье этот подход распространяется на случай панельных данных с более общими и изменяющимися во времени матрицами факторных нагрузок, а также применяется к моделям с эндогенными регрессорами.

В данном подразделе последовательно рассматриваются идентификация экзогенной модели спроса на бандл, расширенные компоненты эндогенного регрессора и дополненные факторные нагрузки в контексте 2 товаров.

Идентификация модели спроса на наборы товаров включает параметры средней полезности $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, эффекты наборов $\Gamma_{(1,2)}$ и распределение ошибок $F(\nu_{i1t},\nu_{i2t})$. Параметры средней полезности $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ идентифицируются по наблюдаемым вероятностям выбора $\Pr(y_{it}=1)$ и $\Pr(y_{it}=2)$. Ключевая сложность заключается в раздельной идентификации эффектов наборов $\Gamma_{(1,2)}$ и корреляции ошибок $\mathrm{corr}(\nu_{i1t},\nu_{i2t})$. Если товары 1 и 2 часто потребляются вместе (высокий $\Pr(y_{it}=(1,2))$), это можно объяснить либо высоким значением $\Gamma_{(1,2)}$ (указывающим на взаимодополняемость), либо высоким значением $\mathrm{corr}(\nu_{i1t},\nu_{i2t})$ (указывающим на положительно коррелированные предпочтения в отношении товаров).

Одним из источников идентификации являются ограничения исключения. То есть, существует переменная, такая как цена, которая входит в функцию полезности одного продукта, $\bar{u}_{ijt}$, но не другого, $\bar{u}_{i,-j,t}$. Как утверждают Gentzkow, (2007), если товары являются комплементами ($\Gamma_{(1,2)}>0$), увеличение полезности товара 1 (например, за счет снижения его цены $p_{1}$) должно увеличивать вероятность потребления товара 2. Напротив, если $\Gamma_{(1,2)}=0$, вероятность потребления товара 2 должна оставаться неизменной. Формализуя аргумент идентификации Дженцкова, Fox and Lazzati, (2017) доказывают, что исключенная переменная для полезности каждого продукта $\bar{u}_{ijt}$ с большим носителем (то есть охватывающая вещественную прямую $\mathbb{R}$) обеспечивает раздельную идентификацию эффектов набора $\Gamma{(1,2)}$ и совместного распределения ошибок $F(\nu_{i1t},\nu_{i2t})$. Кроме того, Keane, (1992) предоставляет доказательства роли ограничений исключения в идентификации параметров ковариации в multinomial probit моделях посредством тестов Монте-Карло и применения к реальным данным.

Идентификация модели спроса на наборы товаров с эндогенностью основывается на аргументе, представленном выше. Идентификация опирается на исключенные переменные, или инструменты, как в моделях с инструментальными переменными. Lewbel, (2000) разрабатывает идентификацию и оценивание моделей бинарного и мультиномиального выбора с эндогенностью, используя предположение о специальном регрессоре. В рамках этого предположения каждое уравнение полезности и первый этап требуют специального регрессора с широким носителем (действительная прямая $\mathbb{R}$), который исключен из других уравнений. Между тем, Fox and Lazzati, (2017) использует аналогичное предположение.

Идентификация факторно-дополненной модели с эндогенностью включает два этапа: (1) идентификацию параметров модели, $\theta$ и $\Gamma$, и распределения ошибок, $F(\nu)$, и (2) восстановление факторных нагрузок $\Lambda$ из $F(\nu)$. Между тем, в большинстве случаев, поскольку оценка фактических факторных нагрузок не является первоочередной задачей, а скорее служит средством для оценки и прогнозирования ковариационной структуры $F(\nu)$, уникальная идентификация факторных нагрузок $\Lambda$ не требуется. Это позволяет оставить матрицу факторных нагрузок полностью неограниченной..

В этом подраздела представлена общая модель, включающая $J$ товаров и $J_{p}$ эндогенных регрессоров. Затем модель подвергается векторизации для дальнейшей иллюстрации межвременных корреляций ошибок и упрощения апостериорного вывода в следующем разделе..

Индексируйте товары с помощью $j\in\mathcal{J}=\{1,\ldots,J\}$. Каждый отдельный индивид $i\in\mathcal{N}=\{1,\ldots,N\}$ в момент времени $t\in\mathcal{T}_{i}=\{1,\ldots,T_{i}\}$ выбирает потребление набора (подмножества) товаров, то есть $r\subseteq\mathcal{J}$. Обозначьте все временные периоды через $\mathcal{T}=\bigcup_{i\in\mathcal{N}}\mathcal{T}_{i}$, а полный набор вариантов выбора — через $\mathcal{R}=\{r\subseteq\mathcal{J}\}$. Обратите внимание, что внешняя альтернатива (потребление ни одного из $\mathcal{J}$) входит в набор вариантов выбора, то есть $r=\varnothing\in\mathcal{R}$. По соглашению я переименовываю внешнюю альтернативу в $r=0$.

Переформулируйте косвенные функции полезности для индивида $i$ от потребления отдельного товара $j$ в момент времени $t$ (структурное уравнение) и уравнения первого этапа для эндогенных регрессоров $p_{ijt}$ в $z_{ijt}$, как определено в уравнениях (1) и (3⟧),

	$\displaystyle\bar{u}_{ijt}$	$\displaystyle=z_{ijt}^{\prime}\theta_{j}+\nu_{ijt},$		$\displaystyle\text{for }j\in\mathcal{J},$		(7)
	$\displaystyle p_{ijt}$	$\displaystyle={z_{ijt}^{p}}^{\prime}\theta^{p}_{j}+\nu^{p}_{ijt}+\epsilon_{ijt}^{p},$		$\displaystyle\text{for }j\in\mathcal{J}_{p},$		(8)

где вектор $z_{ijt}$ объединяет эндогенные и экзогенные регрессоры, входящие в уравнение полезности товара, $\theta_{j}$ представляет собой вектор параметров предпочтений для конкретного товара, а $\mathcal{J}_{p}$ обозначает набор эндогенных регрессоров.

Подобно уравнению 2, определим полезность индивида $i$ от потребления набора $r$ в момент времени $t$ как

$$u_{irt}=\sum_{j\in r}\bar{u}_{ijt}+\sum_{j_{1},j_{2}\in r}w_{i(j_{1},j_{2})t}^{\prime}\gamma_{(j_{1},j_{2})}+\epsilon_{irt},$$

(9)

для внутренних вариантов $r\neq 0$ и $u_{i0t}=\epsilon_{i0t}$ для внешнего варианта. Первое слагаемое в правой части суммирует полезности, получаемые от каждого товара $j$ в наборе $r$. Второе слагаемое, эффекты набора или синергия спроса, $\Gamma_{irt}=\sum_{j_{1},j_{2}\in r}w_{i(j_{1},j_{2})t}^{\prime}\gamma_{(j_{1},j_{2})}$ отражает дополнительную полезность или бесполезность от совместного потребления каждой пары товаров $j_{1}$ и $j_{2}$ в наборе $r$.11 1 Gentzkow, (2007) обнаруживает, что учет эффектов наборов из трех товаров практически не меняет результаты. Кроме того, эффекты многотоварных наборов приводят к проклятию размерности из-за количества товаров. Эффекты набора моделируются как функция наблюдаемых характеристик (и константы) $w_{i(j_{1},j_{2})t}$. Идиосинкратические шоки полезности подчиняются стандартному нормальному распределению, обозначаемому как $\epsilon_{irt}\sim\mathcal{N}(0,1)$ для $r\in\mathcal{R}$, что приводит к мультиномиальной пробит (MNP) модели. Наблюруемый выбор, $y_{it}$, определяется наибольшей латентной полезностью, $y_{it}=\arg\max_{r\in\mathcal{R}}(u_{irt})$.

Я выделяю особенности модели, которые расширяют иллюстративную модель, представленную в Подразделе 2.1. Во-первых, общая модель включает $J$ товаров с $J_{p}=|\mathcal{J}_{p}|$ эндогенными регрессорами. Поскольку количество (внутренних) вариантов $R=2^{J}-1$ растет экспоненциально с $J$, на практике рекомендуется ограничить $J\leq 7$. Для учета большего числа товаров можно рассмотреть ограничение набора выбора единичными и парными наборами товаров, как в Iaria and Wang, (2020). Кроме того, $J_{p}$ не обязательно равно $J$; полезность каждого товара, $\bar{u}_{ijt}$, может включать разное количество эндогенных регрессоров. Во-вторых, эффекты наборов, $\Gamma_{irt}$, теперь изменяются во времени и являются гетерогенными для разных индивидов в зависимости от наблюдаемых характеристик $w_{i(j_{1},j_{2})t}$. В-третьих, модель допускает общие коэффициенты для регрессоров в различных уравнениях. Например, тот же коэффициент цены $\alpha$ взаимодействует с ценами во всех уравнениях полезности $\alpha p_{ijt}$ для всех $j\in\mathcal{J}$. Это ограничение однородных эффектов может аналогичным образом применяться к другим регрессорам в $z_{ijt}$, $z^{p}_{ijt}$ и $w_{i(j_{1},j_{2})t}$. Наконец, модель допускает разреженность в матрице факторных нагрузок $\Lambda_{t}$, подразумеваемую априорными знаниями или экономической теорией, как в примере (6).

Затем я определяю векторизованную модель. Подставьте полезность товара (7) в полезность набора (9):

$$u_{irt}=\sum_{j\in r}z_{ijt}^{\prime}\theta_{j}+\sum_{j_{1},j_{2}\in r}w_{i(j_{1},j_{2})t}^{\prime}\gamma_{(j_{1},j_{2})}+\sum_{j\in r}\nu_{ijt}+\epsilon_{irt}.$$

(10)

Сложите полезности наборов поверх внутренних опций $r\in\mathcal{R}\backslash 0$ и уравнения первого этапа поверх $j\in\mathcal{J}_{p}$:

	$\displaystyle u_{it}$	$\displaystyle=z_{it}\theta+w_{it}\gamma+I_{\nu}^{u}\nu_{it}^{u}+\epsilon_{it}^{u},$		$\displaystyle\text{ for }t\in\mathcal{T}_{i},i\in\mathcal{N},$		(11)
	$\displaystyle p_{it}$	$\displaystyle=z_{it}^{p}\theta^{p}+I_{\nu}^{p}\nu_{it}^{p}+\epsilon_{it}^{p},$		$\displaystyle\text{ for }t\in\mathcal{T}_{i},i\in\mathcal{N},$		(12)

где векторы параметров определены как $\theta=(\theta_{1}^{\prime},\ldots,\theta_{J}^{\prime})^{\prime}$, $\gamma=(\gamma_{(1,2)}^{\prime},\ldots,\gamma_{(J-1,J)}^{\prime})^{\prime}$, $\theta^{p}=({\theta^{p}_{1}}^{\prime},\ldots,{\theta^{p}_{J_{p}}}^{\prime})^{\prime}$. Аналогично, векторы структурных ошибок равны $\nu^{u}_{it}=(\nu_{i1t},\ldots,\nu_{iJt})^{\prime}$ и $\nu^{p}_{it}=(\nu^{p}_{i1t},\ldots,\nu^{p}_{iJ_{p}t})^{\prime}$. Далее объединим скрытые полезности и эндогенные регрессоры $y_{it}^{*}=(u_{it}^{\prime},p_{it}^{\prime})^{\prime}$:

	$\displaystyle y_{it}^{*}$	$\displaystyle=h_{it}\Theta+I_{\nu}\nu_{it}+\epsilon_{it},$		(13)
		$\displaystyle=h_{it}\Theta+I_{\nu}\Lambda_{t}f_{i}+\epsilon_{it},\qquad\text{ for }t\in\mathcal{T}_{i},i\in\mathcal{N},$		(14)

где $\Theta=(\theta^{\prime},\gamma^{\prime},{\theta^{p}}^{\prime})^{\prime}$ и $\nu_{it}=({\nu_{it}^{u}}^{\prime},{\nu_{it}^{p}}^{\prime})^{\prime}=\Lambda_{t}f_{i}$ дополняются факторной структурой. Наконец, объединим по $t\in\mathcal{T}_{i}$ для каждого индивида $i$, а затем по $i\in\mathcal{N}$:

	$\displaystyle y_{i}^{*}$	$\displaystyle=h_{i}\Theta+I_{\nu,i}^{T}\Lambda f_{i}+\epsilon_{i},\qquad\text{ for }i\in\mathcal{N},$		(15)
	$\displaystyle y^{*}$	$\displaystyle=H_{zw}\Theta+H_{\Lambda}f+\epsilon,$		(16)
		$\displaystyle=H_{zw}\Theta+H_{f}\lambda+\epsilon.$		(17)

Подробности о векторизации модели, а также пример с $J=3$ товарами и $J_{p}=3$ эндогенными регрессорами представлены в Приложении A.2. Векторизованная модель способствует предстоящему сопоставлению альтернативных подходов к моделированию корреляций ошибок, определяет более компактные обозначения и облегчает эффективную схему сэмплирования по методу Марковских цепей Монте-Карло для апостериорного вывода.

Данный подраздел сравнивает три альтернативных подхода к моделированию корреляций ошибок. Они различаются предположениями о распределении, налагаемыми на ненаблюдаемые предпочтения и факторы смешения полезности и цены (структурные ошибки), $\nu_{it}=(\nu_{i1t},\ldots,\nu_{iJt},\nu^{p}_{i1t},\ldots,\nu^{p}_{iJ_{p}t})$.

• ⟦1. RE Случайные эффекты с неизменяющимися во времени ненаблюдаемыми вкусами и конфаундерами полезности и цены:

  $$\nu_{it}=\nu_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Sigma),\qquad\Sigma=\begin{pmatrix}\bm{\sigma}_{j_{1},j_{2}}&\bm{\sigma}_{j_{1},J+j_{2}}\\ \bm{\sigma}_{j_{1},J+j_{2}}^{\prime}&\bm{\sigma}_{J+j_{1},J+j_{2}}\end{pmatrix},$$

  где полная ковариационная матрица $\Sigma$ содержит 3 дисперсионно-ковариационные матрицы. $\bm{\sigma}_{j_{1},j_{2}}$, для $j_{1},j_{2}\in\mathcal{J}$, (матрица размера $J$ на $J$) соответствует уравнениям полезности товаров $\bar{u}_{ijt}$ и определяет дисперсии полезности и корреляции вкусов. $\bm{\sigma}_{j_{1},J+j_{2}}$, для $j_{1}\in\mathcal{J}$ и $j_{2}\in\mathcal{J}_{p}$, (матрица размера $J$ на $J_{p}$) учитывает корреляции между полезностями и эндогенными регрессорами, тем самым отражая эндогенность. $\bm{\sigma}_{J+j_{1},J+j_{2}}$, для $j_{1},j_{2}\in\mathcal{J}_{p}$, (матрица размера $J_{p}$ на $J_{p}$) соответствует уравнениям первого этапа.
• ⟦2. FA Факторно-дополненные ненаблюдаемые вкусы и конфаундеры полезности и цены с инвариантными во времени факторными нагрузками:

  $$\nu_{it}=\nu_{i}=\Lambda f_{i},\qquad\Lambda=\begin{pmatrix}\bm{\lambda}_{1}&\cdots&\bm{\lambda}_{l}&\cdots&\bm{\lambda}_{L}\\ \bm{\lambda}^{p}_{1}&\cdots&\bm{\lambda}^{p}_{l}&\cdots&\bm{\lambda}^{p}_{L}\\ \end{pmatrix},\qquad\text{and }f_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_{L}),$$

  где для $l=1,\ldots,L$ факторные нагрузки $\bm{\lambda}_{l}=(\lambda_{1l},\ldots,\lambda_{Jl})^{\prime}$ входят в уравнения полезности товаров $\bar{u}_{ijt}$, а $\bm{\lambda}^{p}_{l}=(\lambda^{p}_{1l},\ldots,\lambda^{p}_{J_{p}l})^{\prime}$ входят в уравнения первого этапа $p_{ijt}$⟧.
• ⟦3. TV-FA Модель с изменяющимися во времени факторами, учитывающая неявные предпочтения и смешивающие факторы полезности и цены:

  $$\nu_{it}=\Lambda_{t}f_{i},\qquad\Lambda_{t}=\begin{pmatrix}\bm{\lambda}_{1t}&\cdots&\bm{\lambda}_{lt}&\cdots&\bm{\lambda}_{Lt}\\ \bm{\lambda}^{p}_{1t}&\cdots&\bm{\lambda}^{p}_{lt}&\cdots&\bm{\lambda}^{p}_{Lt}\\ \end{pmatrix},\qquad\text{and }f_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_{L}),$$

  где для $l=1,\ldots,L$ факторные нагрузки $\bm{\lambda}_{lt}=(\lambda_{1lt},\ldots,\lambda_{Jlt})^{\prime}$ входят в уравнения полезности товаров $\bar{u}_{ijt}$, а $\bm{\lambda}^{p}_{lt}=(\lambda^{p}_{1lt},\ldots,\lambda^{p}_{J_{p}lt})^{\prime}$ входят в уравнения первого этапа $p_{ijt}$.

Оба подхода (RE и FA) ограничивают ненаблюдаемые предпочтения и факторы, смешивающие полезность и цену, обозначаемые как $\nu_{i}$, так что они остаются инвариантными во времени. Следовательно, они неадекватны для улавливания временных шоков спроса, которые влияют как на полезность, так и на рыночные равновесные цены. Аналогичным образом, эти подходы не справляются с учетом временных шоков полезности, которые влияют на предпочтения в отношении нескольких товаров.

Кроме того, подход со случайными эффектами не может быть легко расширен для учета изменяющихся во времени $\nu_{it}$ из-за проблем с размерностью. Изменяющиеся во времени случайные эффекты определялись бы на векторе $\nu_{i}=(\nu_{i1},\ldots,\nu_{iT})^{\prime}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Sigma)$. Рассмотрим приложение с $J=6$ товарами и равным количеством эндогенных регрессоров $J_{p}=6$ за $T=12$ периодов. Полная ковариационная матрица $\Sigma$ в таком случае будет содержать $(J+J_{p})T\times((J+J_{p})T+1)/2=10,440$ свободных параметров.

Чтобы проиллюстрировать, как эти три подхода улавливают корреляции ошибок, вызванные ненаблюдаемыми вкусами и факторами смешения полезности и цены, можно рассмотреть ковариационную матрицу $\Omega_{i}$ совместного вектора ошибок $\varepsilon_{i}$. Процесс векторизации модели определяет совместные векторы ошибок на различных уровнях векторизации. В уравнениях (13), (14), для $t\in\mathcal{T}_{i}$ и $i\in\mathcal{N}$⟧,

	RE		$\displaystyle\varepsilon_{it}$	$\displaystyle=I_{\nu}\nu_{i}+\epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{it}),\quad$	$\displaystyle\Omega_{it}$	$\displaystyle=\mathrm{cov}(\varepsilon_{it})=I_{\nu}\Sigma I_{\nu}^{\prime}+\mathbf{I},$
	FA		$\displaystyle\varepsilon_{it}$	$\displaystyle=I_{\nu}\Lambda f_{i}+\epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{it}),\quad$	$\displaystyle\Omega_{it}$	$\displaystyle=\mathrm{cov}(\varepsilon_{it})=I_{\nu}\Lambda\Lambda^{\prime}I_{\nu}^{\prime}+\mathbf{I},$
	TV-FA		$\displaystyle\varepsilon_{it}$	$\displaystyle=I_{\nu}\Lambda_{t}f_{i}+\epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{it}),\quad$	$\displaystyle\Omega_{it}$	$\displaystyle=\mathrm{cov}(\varepsilon_{it})=I_{\nu}\Lambda_{t}\Lambda_{t}^{\prime}I_{\nu}^{\prime}+\mathbf{I}.$

Параметры ковариации в $\Omega_{it}$ отражают корреляции ошибок между скрытыми полезностями (корреляции вкусов), а также между полезностью и эндогенными регрессорами (эндогенность) в рамках каждого периода времени $t\in\mathcal{T}$.

В уравнении (15) и его аналогах RE и с постоянными во времени FA для $i\in\mathcal{N}$,

	RE		$\displaystyle\varepsilon_{i}$	$\displaystyle=I_{\nu,i}\nu_{i}+\epsilon_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{i}),\quad$	$\displaystyle\Omega_{i}$	$\displaystyle=\mathrm{cov}(\varepsilon_{i})=I_{\nu,i}\Sigma I_{\nu,i}^{\prime}+\mathbf{I},$
	FA		$\displaystyle\varepsilon_{i}$	$\displaystyle=I_{\nu,i}\Lambda f_{i}+\epsilon_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{i}),\quad$	$\displaystyle\Omega_{i}$	$\displaystyle=\mathrm{cov}(\varepsilon_{i})=I_{\nu,i}\Lambda\Lambda^{\prime}I_{\nu,i}^{\prime}+\mathbf{I},$
	TV-FA		$\displaystyle\varepsilon_{i}$	$\displaystyle=I_{\nu,i}^{T}\Lambda f_{i}+\epsilon_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\Omega_{i}),\quad$	$\displaystyle\Omega_{i}$	$\displaystyle=\mathrm{cov}(\varepsilon_{i})=I_{\nu,i}^{T}\Lambda\Lambda^{\prime}{I_{\nu,i}^{T}}^{\prime}+\mathbf{I}.$		(18)

Ковариационная матрица $\Omega_{i}$ дополнительно учитывает межвременные корреляции ошибок.

Таблица 1 обобщает основные дисперсии и ковариации в матрице ковариаций совместных ошибок $\Omega_{i}$ для различных моделей. В ней подчеркиваются различия в том, как подходы RE (Random Effects), FA (Factor-Augmented) и TV-FA (Time-Varying Factor-Augmented) учитывают корреляции ошибок, вызванные ненаблюдаемыми вкусами и конфаундерами полезности и цены. Заслуживает внимания то, что межвременные корреляции фиксированы как для моделей RE, так и для FA..

Спецификация байесовской модели завершается заданием априорных распределений для параметров модели. Для параметров уравнения $\Theta=\left(\theta^{\prime},\gamma^{\prime},{\theta^{p}}^{\prime}\right)^{\prime}$, которые состоят из параметров предпочтений $\theta=(\theta_{1}^{\prime},\ldots,\theta_{J}^{\prime})^{\prime}$, параметров эффектов набора $\gamma=(\gamma_{(1,2)}^{\prime},\ldots,\gamma_{(J-1,J)}^{\prime})^{\prime}$ и параметров первого этапа $\theta^{p}=({\theta^{p}_{1}}^{\prime},\ldots,{\theta^{p}_{J_{p}}}^{\prime})^{\prime}$, я применяю стандартные многомерные нормальные априорные распределения к параметрам уравнения, заданные следующим образом:

$$\Theta\sim\mathcal{N}(m_{\Theta},V_{\Theta}),$$

где $m_{\Theta}$ и $V_{\Theta}$ являются гиперпараметрами.

Для ненулевых факторных нагрузок в матрице факторных нагрузок $\Lambda_{t}$ я предполагаю независимые и одинаково распределенные нормальные распределения в качестве сопряженных априорных распределений

	$\displaystyle\lambda_{jlt}$	$\displaystyle\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2}_{\lambda}),\text{for }j\in\mathcal{J},l=1,\ldots,L,t\in\mathcal{T},\text{ and }\delta_{jlt}=1,$
	$\displaystyle\lambda^{p}_{jlt}$	$\displaystyle\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2}_{\lambda}),\text{for }j\in\mathcal{J}_{p},l=1,\ldots,L,t\in\mathcal{T},\text{ and }\delta_{jlt}=1,$

с общим гиперпараметром $\sigma^{2}_{\lambda}$.

Обратите внимание, что расширенные латентные полезности $u_{irt}$ не требуют априорного распределения, а распределение (расширенных) латентных факторов $f_{i}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_{L})$ задается как часть модели.